Primitive

[MC91]

Bonjour,

Je cherche à trouver la primitive de 1/(sqrt(x^2+1)).
La correction me dit que c'est Argsh(x) ou encore ln(x+sqrt(x^2+1)).

Je voudrais comprendre comment on trouve cette primitive, et aussi pourquoi Argsh(x)=ln(x+sqrt(x^2+1))?

Merci pour vos réponses.

[WillyCagnes]

Bonjour,

Je cherche à trouver la primitive de 1/(sqrt(x^2+1)).
La correction me dit que c'est Argsh(x) ou encore ln(x+sqrt(x^2+1)).

Je voudrais comprendre comment on trouve cette primitive, et aussi pourquoi Argsh(x)=ln(x+sqrt(x^2+1))?

Merci pour vos réponses.

bsr

tu poses :
x=Sh(u) donc u= argSh(x)
dx=Ch(u)du
puis tu sais que 1+Sh(u)² =Ch(u)²

1/(sqrt(x^2+1))dx = Ch(u)du/sqrt(1+Sh(u)²)

I= int(ch(u)/ch(u)du) = int(du)

on intègre I= u+Cte = argSh(x) +Cte

---------
exp(u)=Sh(u)+ Ch(u)
Ln(exp(u))= u =Ln[Sh(u) + ch(u)]=Ln[sh(u) +V(1+Sh(u)²) =u

tu poses x=Sh(u)
on a Ln [x+ V(1+x²)]= argSh(x)

[zygomatique]

salut

évidemment le changement de variable x = sh(t) convient ...

sinon http://www.ilemaths.net/forum-sujet-620885.html

....

[Ben314]

Salut,
La fonction (ArgSinusHyperbolique) est la bijection réciproque de la fonction (SinusHyperbolique) qui est une bijection de R->R
Donc, pour tout réel y, .
Or, pour tout réel x, donc, comme , d'où, en prenant , ce qui donne le résultat.

Concernant la formule , elle découle du fait que, par définition, est la solution de l'équation (en x avec y fixé) c'est à dire que l'on résout simplement (équation du second degré) en posant -> Fait le à titre d'exercice.

[sxmwoody]

bonjour...réponse rapide...en générale pensez au changement de variable X=sinx ou cosx ...On a également recours à l'intégration par partie.
Voire également dérivées et intégrales sur internet avec des fonctions réciproques...
Evidemment il est indispensable de s'exercer à en retrouver les résultats...bon courage.