Théorème encadrement et somme

[nicolas2]

Bonjour, je dois prouver par le théorème de l'encadrement que la suite définie par tends vers , or je ne sais pas comment commencer. Pouvez-vous me donner une indication ou l'inégalité de départ ?
Merci d'avance :we:

[Ben314]

Salut,
As-tu vu une des "formules de Taylors" (avec reste intégral par exemple...) ?

Si oui, c'est le moment de t'en servir.
Si non, ça va être un peu long vu que, bon grès, mal grès, il va plus ou moins falloir la (re)démontrer...

[Ben314]

Salut,
As-tu vu une des "formules de Taylors" (avec reste intégral par exemple...) ?

Si oui, c'est le moment de t'en servir.
Si non, ça va être un peu long vu que, bon grès, mal grès, il va plus ou moins falloir la (re)démontrer dans ce cas particulier...

[nicolas2]

Non je n'ai pas vu ça, je suis en 1ere année ECE et je ne sais pas si c'est au programme.

Par contre j'ai oublié de donner une indication, car on a prouvé précédemment dans l'exercice l'inégalité suivante :

[Ben314]

Dans ce cas, c'est (quasiment) fini : Il suffit de montrer que la suite tend vers 0 pour conclure (à l'aide du théorème "des gendarmes")
Pour ce faire, je t'inciterais bien à commencer par calculer la limite de dans le but de majorer la suite par une suite géométrique de raison .

[nicolas2]

J'ai trouvé , est-ce juste ? Et je n'ai pas compris comment transposer cela en une suite géométrique ?

[Ben314]

J'ai trouvé , est-ce juste ? Et je n'ai pas compris comment transposer cela en une suite géométrique ?

Oui, c'est juste.
Et cette quantité tend clairement vers 0 lorsque n tend vers +oo ce qui signifie (par définition d'une limite) qu'il existe un certain entier m tel que (par exemple) pour tout (ici, on pourrait même expliciter le m en question, mais c'est une perte de temps...)
Donc ; ... etc
et, de façon générale, pour tout k on a ce qui prouve que la suite tend vers 0.

[nicolas2]

Très bien j'ai compris, merci beaucoup !