Equations différentielles et champ de vecteurs

[Anaconda]

Bonjour !

Voici un problème m'ayant été posé récemment :

Soit f:U -> R une fonction C infinie définie sur un ouvert U de Rn. Elle définit un champ de vecteurs X défini sur U qu'on appelle le gradient de f.

1) Montrer que Sing(gradient de f) = {p appartenant à U tq dfp = 0}.
2) Soit lambda(t) une solution courbe de X qui n'est pas contenue dans Sing(X). Montrer que la fonction qui à t associe f(lambda(t)) est strictement positive.
3) Déduire de la question précédente que X ne possède pas d'orbite périodique.
4) En utilisant la question 2), montrer que pour toute orbite lambda de X, la w-limite w(lambda) est nécessairement contenue dans Sing(X) (Indication : supposons, par l'absurde qu'il existe un point q non singulier appartenant à w(lambda) et considérer l'ensemble sigma = f^(-1)(f(q)) inclus dans U. Montrer que pour un voisinage suffisamment petit de q, sigma définit une section transverse de X. Étudier ensuite l'intersection lambda inter sigma)

Aucun problème pour les questions 1), 2) et 3) mais je ne sais pas trop quoi faire pour la question 4). Pouvez-vous m'aider ?

Merci beaucoup