Congruence

[Le Chat]

Bonjour,

Soit un entier et un nombre premier où ne divise pas .

Prouvez que :
Si est le plus petit entier positif tel que , alors
divise .

[mathelot]

est un sous groupe de donc pour écrire ça, niveau Term ??

[Ben314]

Si on veut rester niveau terminale, il faut des "petites étapes" :

1) Montrer que, pour tout x de N, (indication : récurrence et binôme de newton)
2) En déduire que, si x n'est pas divisible par p, alors
3) Montrer que, si a,b,x sont dans N tels que alors (indication : Bézout, attention au signes...)

4) En déduire que, si x est un entier non divisible par p, il existe un plus petit entier naturel non nul n tel que et que cet entier n divise p-1.

[paquito]

Le petit théorème de Fermat affirme que si p ne divise pas a, a^{p-1}-1=0[p]. Donc x=p-1 convient;
par conséquent a^{k(p-1)}-1=0 [p]; reste à montrer que P-1 est le plus petit entier vérifiant la congruence: Z/pZ est un corps, donc tout élément non nul et non= à 1 ou à p est générateur, donc si k=0, a, a^2,a^3,......,a^{p-1} et a^p génère Z/pZ; comme on a a^p=0, on a a^{p-1}=1 [p],donc le plus petit enter vérifiant a^x=1 [p] est p+1.

Ceci dit, ni la notion de petit théorème de Fermat et encore moins le fait que Z/pZ est un corps ne figure au programme: exercice hors la loi!!

[Ben314]

...donc tout élément non nul et non= à 1 ou à p est générateur...
...donc le plus petit entier vérifiant a^x=1 [p] est p-1

Bizarre, si on prend a=-1 alors, vu que a²=1, j'ai bien peur que a ne soit pas un générateur...

Si ça te semble trop "trivial", tu vérifiera que dans le groupe multiplicatif (Z/7Z)*, a=2 n'est pas générateur : a^3=8=1

[Le Chat]

salut, merci de vos réponses

Le petit théorème permet d'écrire et
soit le plus petit entier positif tel que . En utilisant Bézout, on obtient

comme et , on a
comme d est le plus petit entier positif tel que , forcément
et divise

:zen: