Dénombrement

[Cam12]

Bonjour,

J'ai encore un petit problème de dénombrement. Si on dispose de n billets de banque que l'on décide de couper en deux. On les recolle deux à deux. Quelle est la probabilité de tous les recoller dans l'ordre initial ?

Je n'arrive pas à trouver le nombre d'arrangement total. Pour n=2, je trouve 3 mais n=3 c'est déjà trop et je m'embrouille. :mur:

[Ben314]

Salut,
Ton énoncé n'est pas très clair. Par exemple, si tu as deux billet A et B et que tu les coupe en deux :
A->A1+A2 et B->B1+B2"
Il est clair qu'on accepte comme recollement A1+A2 et B1+B2.
Je pense qu'on accepte aussi A1+B2 et B1+A2.
Mais accepte t-on A1+B1 et A2+B2 ?

A mon avis, non : il y a des "coté droit" et des "cotés gauches" et on recolle systématiquement un "coté droit" avec un "coté gauche" (en plus ça a le bon gout de permettre un calcul très simple du nombre de façons de recoller)

[Cam12]

On accepte A1+B1 et A2+B2 (même si l'énoncé précise qu'il y a des morceaux droits et morceaux gauches), puisque la question suivante est : quelle est la probabilité qu'un morceau gauche soit recollé avec un morceau droit ?

Je sais que pour la deuxième question il faut calculer le nombre de bijections d'un ensemble à n éléments (on associe un et un seul côté gauche à un côté droit), il y a n! bijections possibles mais il reste à determiner le nombre total de façon de recoller.

[beagle]

bah non, c'est rigolo aussi de faire "que" en le présentant comme suit:
C1 + C2
Z1+ Z2
...
A1+A2
...


versus la présentation plus simple:
A1+ A2
B1 + B2
...

Le désordre est-il ordonné, suite et développement au forum philosophie.

Bah dommage, tant pis pour moi alors.

[Ben314]

Quelle est la probabilité de tous les recoller dans l'ordre initial ?

quelle est la probabilité qu'un morceau gauche soit recollé avec un morceau droit ?

Il y a deux questions dans l'exo ?

Perso, s'il n'y avait QUE la première question, j'aurais considéré comme sous entendu que l'on ne fait que des recollement d'un coté gauche avec un coté droit (pas forcément celui de départ bien sur).
Dans ce cas, le nombre de façon de tout recoller est n! (le nombre de bijection allant de l'ensemble des cotés gauche dans l'ensemble des cotés droits)

Par contre, face à la deuxième question, il faut forcément considérer qu'on recolle n'importe quoi avec n'importe quoi donc ce qu'on cherche c'est le nombre de façon de partitionner un ensemble à 2n éléments en n parties à 2 éléments et il y a façons de tout recoller.

P.S. Sans compter que deux demi-billets, il y a 2 façons de les recoller ensemble même en admettant qu'on les recolle le long de la partie coupée (et si on accepte de les recoller le long de bords non coupés, c'est beaucoup plus...)

[Cam12]

C'est vrai que ça n'a pas de sens de recoller les billets n'importe comment mais bon c'est l'énoncé...

Merci beaucoup Ben pour ta réponse, je n'aurais pas pensé aux partitions par paire.

[beagle]

C'est vrai que ça n'a pas de sens de recoller les billets n'importe comment mais bon c'est l'énoncé...

Merci beaucoup Ben pour ta réponse, je n'aurais pas pensé aux partitions par paire.

Bah , tu sais Ben314 de par son activité,
probablement extraprofessionnelle,
est habitué à ètre payé ainsi,
en deux fois.
j'ai déjà vu ça dans les films!