Calcul des dimensions d'un rectangle

[zouber34]

Bonjour,
J'ai du mal avec cet exercice. Il y a beaucoup de paramètres et la solution géométrique n'est pas autorisée. Seule la résolution des équations est permise.



Merci d'avance

[mathafou]

Bonjour,

appeler x, y, z etc les dimensions des différents carrés inconnus au lieu de "2" "3" etc que tu as mis
et écrire les équations correspondantes (somme de côtés).

Il y a forcément un raisonnement géométrique là dedans puisque seule l'observation de la figure permet de déterminer quels carrés se touchent et comment !

[zouber34]

Le fait de nommer les carrés 1,2 3, ...etc. c'est pour nommer les distances en U1, U2, U3. ...etc.
Mon problème n'est pas la mise en équation mais comment faire de toutes ces inconnues une équation à une seule inconnue ou un système de deux équations à deux inconnues.
Voilà ce que je peux écrire:
longueur =l= U2+U4+U8 = U3+U5+U7

D'autre part :
U3=1+U2
U5=U6+U4-1
U8=U6+U7
U9=U2 +U4

Largeur =L= U3+U2+U9=U7+U8=U3+U1+U4+U9=U5+U6+U8

[mathafou]

Longueur = l = U2+U4+U8 = U3+U5+U7
à ce compte là il y en a trois autres égales à la longueur

Largeur = L = U3+U2+U9 = U7+U8 = U3+U1+U4+U9 = U5+U6+U8
et là aussi il en manque une

cela donne 8 équations en les 8 inconnues et ça suffit pour résoudre

mais ça va être plutôt pénible !!

D'autre part : [ ... ] oui !!!

c'est plutôt comme ça qu'il faut faire pour résoudre étape par étape ce fameux système de 8 équations !

Il semble que ça va simplifier pas mal si de proche en proche on les calcule tous "en fonction de U4"
U2 = U4 + 1
U3 = U2 + 1 = U4 + 2
U5 = U3 + 1 = U4 + 3

etc

et aboutir à une équation unique en U4 seulement qu'il suffira de résoudre pour trouver toutes les valeurs.

[zouber34]

Après calcul voilà ce que je trouve
l=3×U2+7
L=4×U2+4

La question maintenant comment se débarrasser de ce U2. :cry:

[zouber34]

Bon j'ai trouvé. J'avais oublié un équation plus une petite erreur de calcul.
Merci pour tout

[chan79]

Bon j'ai trouvé. J'avais oublié un équation plus une petite erreur de calcul.
Merci pour tout

32*33 pour le rectangle, on dirait

[mathafou]

32*33 pour le rectangle, on dirait

oui

c'est le plus petit "rectangle parfait" (pavé par des carrés de tailles toutes différentes)
on a prouvé qu'il fallait au minimum 9 carrés pour faire ça.

une référence en Français Recreomath
(références assez rares car en tapant "rectangle parfait" les moteurs de recherche renvoient surtout sur le rectangle d'or qui n'a aucun rapport)
en tapant "perfect tiling" on tombe essentiellement sur des entreprises de couverture de toits :briques:

et avec "perfect rectangle" sur Wolfram
le premier lien qu'on y trouve donne des infos supplémentaires, y compris des tables de solutions d'ordre plus élevé (composées de plus de 9 carrés) mais pas très lisibles car il faut traduire le "codage de Bouwkamp" en agencement des carrés.

[zouber34]

Tout à fait.
L=33 et l=32.

:zen:

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