Algèbre, et matrices
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Lostounet
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par Lostounet » 31 Oct 2014, 17:34
Bonjour,
Parmi les deux DM que je dois rendre pour la rentrée... j'en ai un qui est vraiment horrible.
Voici un des exos qui semble le plus facile et le plus court:
Soit A dans Mn(C) une matrice diagonalisable. Montrer que la matrice
est diagonalisable.
Il y a une indication qui ne m'aide pas, c'est de considérer la matrice
et de montrer qu'elle est diagonalisable pour tout complexe a...
Merci de votre aide
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arnaud32
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par arnaud32 » 31 Oct 2014, 18:23
de quels outils disposes tu?
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par Lostounet » 31 Oct 2014, 18:25
Euh le rang, le noyau, le polynôme minimal, ... Le programme de spé :p
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arnaud32
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par arnaud32 » 31 Oct 2014, 18:32
deja tu peux te ramener facilement au cas ou A est diagonale
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Lostounet
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par Lostounet » 31 Oct 2014, 18:50
Je peux écrire la matrice comme somme de:
diag(A,A) + U avec U la matrice unité avec des 0 sur la diagonale.
Je peux diagonaliser chaque A sous la forme P-1 D P ok... ...?
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arnaud32
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par arnaud32 » 31 Oct 2014, 19:02
tu prends
telle que
tu notes
ta matrice
u notes
on a
qui est
tu as
=
tu peux calculer
et regarder
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Ben314
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par Ben314 » 31 Oct 2014, 19:10
Salut,
Perso, je regarderais ce que donne l'équation
où
et
sont des vecteurs colonne
.
Aprés quelques lignes de calculs, cela te conduit à considérer les
vecteurs colonnes
où
est une base de
formée de vecteurs propre de
(qui existe vu que
est supposée diagonalisable).
Tu montre alors aisément que ces
vecteurs sont des vecteurs propres de
et qu'ils forment une famille libre (donc une base) de
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par Lostounet » 02 Nov 2014, 17:19
Ben314 a écrit:Salut,
Perso, je regarderais ce que donne l'équation
où
et
sont des vecteurs colonne
.
Aprés quelques lignes de calculs, cela te conduit à considérer les
vecteurs colonnes
où
est une base de
formée de vecteurs propre de
(qui existe vu que
est supposée diagonalisable).
Tu montre alors aisément que ces
vecteurs sont des vecteurs propres de
et qu'ils forment une famille libre (donc une base) de
@ Arnaud, j'ai un peu de mal à voir pourquoi tu introduis les matrices élémentaires...?
@ Ben,
En posant le système... matriciel? J'ai trouvé quelque chose d'assez étrange, du type:
Comme A est diagonalisable que puis-je dire à partir de ça? Rien?
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par jlb » 02 Nov 2014, 19:04
Salut, bon, c'est une idée, je ne sais pas si cela abouti à quelque chose!!
Tu écris
comme somme de
et
Les deux matrices de cette décomposition commutent, la première est diagonalisable facilement
Donc il existe une base commune de diagonalisation si la deuxième est aussi diagonalisable. Ceci permettrait, je crois de diagonaliser la matrice initiale.
Pour expliquer que la deuxième est diagonalisable, j'ai remarque que son carré est sympathique et fournit du coup un polynôme scindé à racine simple annulé par cette matrice
Voila si quelqu'un peut confirmer tout cela car je ne suis pas apte à parler de tout cela.
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par Lostounet » 02 Nov 2014, 19:46
Ce serait sympa du coup mdr
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par Doraki » 02 Nov 2014, 21:46
J'ai été le seul à penser qu'on pouvait par un changement de base, supposer A diagonale, puis encore avec un changement de base (une permutation, même) se ramener à une matrice par blocs 2*2 qui sont comme dans l'indication ?
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par Lostounet » 02 Nov 2014, 21:48
Euh un changement de base?
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par Doraki » 02 Nov 2014, 21:57
Oui un changement de base. C'est quand on multiplie d'un coté par une matrice inversible et de l'autre coté par son inverse ? Rassure-moi tu sais ce que c'est ?
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Ben314
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par Ben314 » 02 Nov 2014, 22:47
Lostounet a écrit:Comme A est diagonalisable que puis-je dire à partir de ça? Rien?
Sauf peut-être que c'est équivalent à
et donc à
qui, lorsque
ou
est valeur propre de
aura des solutions
.
Bilan : il faut prendre pour
un vecteur propre de
associé à une valeur propre
, prendre
puis
ce qui te fourni bien 2n vecteurs propres de ta grosse matrice (reste à vérifier que la famille est libre).
P.S. sauf erreur, en commençant par considérer que A est diagonale, on fait (quasi) les mêmes calculs, sauf qu'on peut se permettre de "descendre" jusqu'au niveau des coordonnées vu la forme bien plus simple de A.
P.S.2
jlb a écrit:Les deux matrices de cette décomposition commutent, la première est diagonalisable facilement
Donc il existe une base commune de diagonalisation si la deuxième est aussi diagonalisable.
ça marche aussi (et ça "plie" le truc en 2 lignes) à condition.... d'avoir vu le théorème en question...
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par Lostounet » 03 Nov 2014, 03:14
Merci Ben :)
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