Congruence

[lilali600]

Bonjour a tous :) j'ai besoins d'aide svp c'est un DM de spé math (termS) et c'est sur le chapitre sur l'arithmétique voici l’énonce:
Pour chacune des deux propositions suivantes dites si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Toute réponse non démonter ne rapportera aucun point.
proposition 1 : Pour tout entier naturel n, 3 divise 2^(2n) -1
proposition 2 : Si un entier relatif x est solution de l'équation x^2 +x congru 0 (6) alors x congru 0 (3)
Je sais pas comment démonter sais que la proposition 1 est vrai et la 2 fausse .
Merci d'avance :)

[Sake]

Salut,

Bonjour a tous j'ai besoins d'aide svp c'est un DM de spé math (termS) et c'est sur le chapitre sur l'arithmétique voici l’énonce:
Pour chacune des deux propositions suivantes dites si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Toute réponse non démonter ne rapportera aucun point.
proposition 1 : Pour tout entier naturel n, 3 divise 2^(2n) -1
proposition 2 : Si un entier relatif x est solution de l'équation x^2 +x congru 0 (6) alors x congru 0 (3)
Je sais pas comment démonter sais que la proposition 1 est vrai et la 2 fausse .
Merci d'avance

Si tu sais que la 1 est vraie, alors fais une récurrence.

[lilali600]

Salut,

Si tu sais que la 1 est vraie, alors fais une récurrence.

Initialisation: pour n=0 on a 2^(0)-1 = 0 la propriété est vrai car 3 est divisible par 0
hérédité: supposons que "3 est divisible par 2^(2n)-1" vraie. alors il existe k tel que 2^(2n)-1 =3k => 4^(n)-1=3k
Montrons que pour un rang n+1 hypothèse de récurrence est vraie c'est a dire pour 4^(n+1) -1=3k et apres je n'arrive pas a continuer :/

[Sake]

Initialisation: pour n=0 on a 2^(0)-1 = 0 la propriété est vrai car 3 est divisible par 0
hérédité: supposons que "3 est divisible par 2^(2n)-1" vraie. alors il existe k tel que 2^(2n)-1 =3k => 4^(n)-1=3k
Montrons que pour un rang n+1 hypothèse de récurrence est vraie c'est a dire pour 4^(n+1) -1=3k et apres je n'arrive pas a continuer :/

Attention, entre le rang n et le rang n+1, on n'a pas le même k... Faut juste montrer qu'au rang n+1, 4^(n+1) - 1 est toujours divisible par 3. Ce qui veut dire ?
D'ailleurs, tu es sûr que c'est juste ?

Parce que si c'est pas juste, on passe par l'absurde pour montrer que l'assertion est fausse.

[nodjim]

La proposition 2 est fausse.

[lilali600]

Attention, entre le rang n et le rang n+1, on n'a pas le même k... Faut juste montrer qu'au rang n+1, 4^(n+1) - 1 est toujours divisible par 3. Ce qui veut dire ?
D'ailleurs, tu es sûr que c'est juste ?

Parce que si c'est pas juste, on passe par l'absurde pour montrer que l'assertion est fausse.

il existe k tel que 2^(2n)-1 =3k et donc 2^2n =3k+1
2^2(n+1)-1 = 2^(2n+2)-1
= (2^2n)x2² - 1
= (3k+1)x4 - 1
= 12k + 4 -1
= 12k+3 vraie pour un rang n+1
conclusion la proposition 1 est vraie

[lilali600]

Pour la proposition 2 je veux le faire sans contre exemple j'ai un contre exemple pour x=5 je voudrais le faire en démontrant la réciproque

[Sake]

Tu ne démontreras pas que la proposition est fausse en démontrant sa réciproque...