Aidez-vous

[sacha.dhenin]

Bonjour !

Je sèche sur cette exercice depuis quelques jours, quelqu'un pourrait-il m'aider ?

« Déterminer le plus grand entier qui divise tous les nombres de la forme :

(a-b)(b-c)(c-d)(d-a)(a-c)(b-d) , où a,b,c, et d sont des entiers »

Une idée ? Merci d'avance !

Sacha

[chan79]

Bonjour !

Je sèche sur cette exercice depuis quelques jours, quelqu'un pourrait-il m'aider ?

« Déterminer le plus grand entier qui divise tous les nombres de la forme :

(a-b)(b-c)(c-d)(d-a)(a-c)(b-d) , où a,b,c, et d sont des entiers »

Une idée ? Merci d'avance !

Sacha

avec a=0;b=1;c=2,d=3
(a-b)(b-c)(c-d)(d-a)(a-c)(b-d) =-12
L'entier cherché doit déjà diviser 12

[sacha.dhenin]

avec a=0;b=1;c=2,d=3
(a-b)(b-c)(c-d)(d-a)(a-c)(b-d) =-12
L'entier cherché doit déjà diviser 12

Oui, j'avais trouvé ça, mais après, je dois montrer que 4 divise (a-b)(b-c)(c-d)(d-a)(a-c)(b-d) et 3 divise (a-b)(b-c)(c-d)(d-a)(a-c)(b-d), mais je ne sais pas comment faire...

Pour 3, je pense que ça devrait marcher avec des congruences, mais pour 4, je sèche...

[Ben314]

Salut,
Perso, j'utiliserais le "principe des tiroirs" :
- Modulo 3, il n'y a que 3 classes possibles alors que tu as 4 entiers donc il y en a deux qui sont dans la même classe et la différence entre ces deux là est divisible par 3. Comme ton produit contient toutes les différences possibles entre 2 éléments, il est lui même divisible par 3.
- Modulo 4, il y a 4 classes et tu as 4 entiers : si une classe contient 2 entiers alors ton produit contient un terme divisible par 4 donc est divisible par 4. Sinon, c'est qu'il y a exactement un entier par classe (modulo 4) et ton produit contient deux termes pairs (correspondant à 2-0 et 3-1 modulo 4) donc est de nouveau multiple de 4.

[sacha.dhenin]

Salut,
Perso, j'utiliserais le "principe des tiroirs" :
- Modulo 3, il n'y a que 3 classes possibles alors que tu as 4 entiers donc il y en a deux qui sont dans la même classe et la différence entre ces deux là est divisible par 4. Comme ton produit contient toutes les différences possibles entre 2 éléments, il est lui même divisible par 3.
- Modulo 4, il y a 4 classes et tu as 4 entiers : si une classe contient 2 entiers alors ton produit contient un terme divisible par 4 donc est divisible par 4. Sinon, c'est qu'il y a exactement un entier par classe (modulo 4) et ton produit contient deux termes pairs (correspondant à 2-0 et 3-1 modulo 4) donc est de nouveau multiple de 4.

Ah oui ! Je n'avais pas pensé à ça.

Merci beaucoup !