Notre professeur de maths nous avait donné à la rentrée une feuille d'exercices de révisions, bien que ceux-ci s'apparentent plutôt à des exercices de réflexion (questions courtes). En ce moment, nous sommes sur l'analyse (limite et dérivées) et j'ai essayé de faire les exercices de cette fiche pour voir si tout était bien compris.
Il y a un exercice sur lequel je bloque, le voilà.
Montrer qu'il n'existe pas de fonction f : IR -> ]0, +oo[ dérivable telle que f ' = f o f.
(Le o est le rond de la composition).
J'ai essayé de tirer des conclusions en supposant qu'une telle fonction existe.
Pour le moment, j'ai réussi à montrer que comme, pour tout x, f(x)>0, on a f'(x)>0 ce qui implique que f est une fonction strictement croissante. Par ailleurs, comme fof est une fonction composée à partir de deux fonctions croissantes, on peut aussi en déduire que f' est une fonction croissante.
Donc f, fof et f' sont croissantes.
Ensuite, la suite de mon raisonnement est très "bidouillage" je trouve...
Si f' est croissante et minorée par 0 alors, il y a deux possibilités (lorsque j'écris lim, c'est supposé lim lorsque x tend vers + l'infini):
- lim f'(x) = l
Cela signifie que lim fof(x) = l donc qu'il existe l' tel que lim f(x) = l'.
Autrement dit, à partir d'une certaine valeur de A telle que x > A, f(x) appartient à ] l' - e, l' + e [. Cela signifie que pour e très proche de 0, on doit avoir lim f'(x) = 0 ; ce qui est une contradiction.
- lim f'(x) = + oo.
Mais là je ne parviens à aucune contradiction...
En plus, je ne suis même pas sur que mon idée de raisonner avec les limites est bonne dans toute cette histoire. Et même si c'était la bonne idée, c'est quand même très brouillon... Ce qui m'embête, c'est qu'en sortant de 1S, on devrait être capable de faire ce genre d'exercices donc bon...
Si vous avez une petite piste, je serai volontiers preneur
Merci d'avoir lu jusqu'au bout!
