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[axelle-pttps]

Exercice 6:

ABCD est un trapèze rectangle en A et en D.
On a: AB=8 ; AD=6 ; DC=2.
M est un point libre sur segment (AD).

Problème: peut-on placer le point M de maniére à ce que les triangles ABM, MCD et MBC aient tous les trois la même aire?

1) Méthode par tâtonnement
Quelles sont les aires des triangles si AM=1? Si AM=3?
Coup de pouce: pour l'aire de MBC, penser à utiliser une différences d'aires.
Cette démarche permet-elle de conclure?

3) En utilisant des fonctions
On note x la longueur AM. Déterminer l'expression des fonctions f, g et h qui, à un nombre x associent respectivement les aires de ABM, MCD et MBC. Préciser l'ensemble de définition commun à ces trois fonctions. Répondre au problème.

Merci par avance

[titine]

Exercice 6:

ABCD est un trapèze rectangle en A et en D.
On a: AB=8 ; AD=6 ; DC=2.
M est un point libre sur segment (AD).

Problème: peut-on placer le point M de maniére à ce que les triangles ABM, MCD et MBC aient tous les trois la même aire?

1) Méthode par tâtonnement
Quelles sont les aires des triangles si AM=1? Si AM=3?
Coup de pouce: pour l'aire de MBC, penser à utiliser une différences d'aires.

Pour AM=1 quelle est l'aire de ABM ? De MCD ? De MBC ?

[axelle-pttps]

Elles ne sont pas données...

[titine]

ABM triangle rectangle en A avec AM=1 et AB=8. Son aire est .....
MCD triangle rectangle en D avec MD=5 et DC=2. Son aire est ....
Aire MBC = Aire ABCD - Aire ABM - Aire MCD
Or Aire ABCD = ....
Donc Aire MBC = ....

[mathafou]

bonjour,

il est marrant ce problème

il suffit de réfléchir quelques secondes pour répondre à la question posée :
très certainement non (il n'est pas possible d'avoir les trois aires égales)
par monotonie et continuité il existe une et une seule position de M pour laquelle les aires de ABM et MCD sont égales
pour que les trois aires soient égales il faut qu'elles soient toutes les trois égales au 1/3 de celle du trapèze.
par continuité et monotonie toujours, il existe au plus une et une seule position M' de M pour laquelle l'aire de MBC est égale au 1/3 de celle du trapèze
il n'y a vraiment aucune raison pour que ces points M et M' soient le même, ce serait un "coup de bol faramineux"

cet exo est donc prétexte à calculs pour le prouver (que ce n'est pas possible)

on peut ajouter un 3ème volet à cet exo : une preuve purement géométrique sans aucun calcul
on construit géométriquement le point M pour lequel aire(ABM) = aire(MCD) (en mauve)
on construit géométriquement le point M' pour lequel aire(MBC) = 1/3 aire(ABCD) (en vert)

on prouve par des arguments purement géométrique que M et M' sont de part et d'autre du milieu I de AD, et donc que ce sont des points différents.

je laisse les détails (justification de la construction et preuve)