Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
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Noona
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par Noona » 30 Oct 2014, 18:28
Bonjour,
J'aurais deux questions sur lesquelles je sèche particulièrement:
- si on suppose qu'un couple A² d'anneaux possède un PGCD, comment peut-on montrer que des éléments a et b de l'anneau A possèdent un PPCM ?
- comment peut-on montrer qu'un anneau A est bézoutien car il vérifie le théorème de Bezout ET parce que tout couple de A² possède un PGCD ?
Merci par avance, cela fait partie d'une série de questions sur l'arithmétique et les anneaux, je bloque sur ces questions assez sévèrement et je n'ai aucune idée ( enfin si, mais c'est trop vague ) donc inutile d'essayer de "me sortir les vers du nez" :ptdr:
Quelques pistes ?
A bientot :we:
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barbu23
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par barbu23 » 30 Oct 2014, 22:04
Salut : :happy3:
Supposons que :
possède un
pour tout
, et on note :
.
Donc, il existe un plus petit idéal
tel que :
et
et
. Il suffit de prendre :
avec :
un nombre premier. Cela ne peut avoir lieu que si
est factoriel, pour avoir la permission d'écrire :
.
Si
est factoriel.
Il existe un plus grand idéal
avec
et
et
et
.
Il suffit de prendre :
.
Dans le cas où
est général ( i.e : non nécessairement factoriel ) attend un peu, je vais y réfléchir. :happy3:
Cordialement. :happy3:
Edit : Pour le cas
non factoriel, tu montres qu'il existe un plus petit idéal principal
tel que
et
et
. Le
est dans ce cas là :
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