Question de démonstration

[evelyne.napias1]

Je vous donne l'énoncé.

ABCD est un quadrilatère quelconque. I,J,K et L son les milieux respectifs [AB] [BC] [CD] et [AD].

Tracer ABCD, I,J,K et L et IJKL.
Etablir une conjecture sur la nature de IJKL.

Démontrer votre conjecture.
Voilà. :doh:

On trouve que IJKL forme un parallélogramme mais comment le démontrer ? :triste: En effet, les 4 propriétés habituelles des parallélogrammes (côtés parallèles et de même longueur, diagonales qui se coupent en leur milieu etc) ne permettent absolument pas de montrer que si on relie les milieux d'un quadrilatère quelconque, ça donne un parallélogramme systématiquement.

Quelqu'un connaît il une meilleure façon de le démontrer ?

D'avance merci de vos réponses ! :lol3:

[beagle]

triangle ABD, I et L passent par milieu donc LI est comment par rapport à DB?
triangle BCD, J et k passsent par milieu donc JK est comment par rapport à DB?
donc déjà ...

[evelyne.napias1]

triangle ABD, I et L passent par milieu donc LI est comment par rapport à DB?
triangle BCD, J et k passsent par milieu donc JK est comment par rapport à DB?
donc déjà ...

LI semble parallèle à DB et JK semble aussi parallèle à DB.

[beagle]

LI semble parallèle à DB et JK semble aussi parallèle à DB.

oui, mais il existe un théorème des milieux des cotés d'un triangle,
qui n'est rien d'autre que du Thalès à 1/2,
et là cela ne devient plus il semble que,
cela démontre que c'est parallèle .

[evelyne.napias1]

oui, mais il existe un théorème des milieux des cotés d'un triangle,
qui n'est rien d'autre que du Thalès à 1/2,
et là cela ne devient plus il semble que,
cela démontre que c'est parallèle .

Merci mais pour le moment, pas vu de Thalès en 4e....donc, point mort.

[beagle]

Merci mais pour le moment, pas vu de Thalès en 4e....donc, point mort.

ok, zètes au point mort,
alors marcge arrière:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_des_milieux

point mort et on passe la première.

[Renaud08]

Trace ton quadrilatère ABCD
Puis place tes points IJKL
Maintenant trace les segment [KI] et [LJ] il se coupent en un point que tu peux appeler O
On ne sait pas si O est le milieu des 2 segments. Donc pour savoir que IJKL est un parallélogramme on va utiliser une autre propriété :

I est le symétrique de K par rapport à O, on peut en déduire que O est le milieu de [AIK] On fais la même chose pour J symétrie de L
Ainsi on sait maintenant que O est milieu des 2 segments DONC

On utilise donc la propriété relative aux diagonales. IJKL est un parallélogramme car ses diagonales [IK] et [LJ] ont le même milieu O.


Note Beagle ton idée de thalès pas mal mais si cela n'a pas encore été vu en cours on ne peut pas en parler se serait louche ;)

[beagle]

"Note Beagle ton idée de thalès pas mal mais si cela n'a pas encore été vu en cours on ne peut pas en parler se serait louche ;)"

ben c'est vrai que faudrait avoir le programme actuel, la leçon en cours,
mais le théorème des milieux est appris avant Thalès,
assez tot au collège me semblait-il

[Renaud08]

"Note Beagle ton idée de thalès pas mal mais si cela n'a pas encore été vu en cours on ne peut pas en parler se serait louche "

ben c'est vrai que faudrait avoir le programme actuel, la leçon en cours,
mais le théorème des milieux est appris avant Thalès,
assez tot au collège me semblait-il

Oui il faudrait avoir un index des cours donnés durant les 4 ans du collège. Pour thalès il me semble qu'il est vu en 3ème (mais à confirmer) après je n'ai plus les souvenirs de mes années collèges donc j'ai donné une démo qui me semble compréhensible par un élève de 4ème

[chan79]

I est le symétrique de K par rapport à O, on peut en déduire que O est le milieu de [AIK] On fais la même chose pour J symétrie de L
Ainsi on sait maintenant que O est milieu des 2 segments DONC

On utilise donc la propriété relative aux diagonales. IJKL est un parallélogramme car ses diagonales [IK] et [LJ] ont le même milieu O.

salut
On voit souvent la propriété de la droite des milieux en début d'année de 4°, avant Thalès.
Ce qui est écrit ci-dessus, avec le point O ne colle pas. :triste:

[Renaud08]

Lorsque tu as une droite et que tu installe un point sur cette droite. Si tu arrive à démontrer avec l'aide du compas que le point d'une extrémité est la symétrie de l'autre par rapport au point rajouter. Alors tu peux en conclure que le point rajouter se trouve au milieu. Ensuite lorsque les diagonale se coupent en leur milieu tu conclus que le quadrilatère et un parallélogramme. Après moi j'ai donné cete méthode en prenant en compte le fat que Thalès ne soit pas encore étudié par l'élève.

Pour démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme, il existe pas mal de solutions, à vous de trouver la bonne.

[beagle]

"On ne sait pas si O est le milieu des 2 segments. ...

I est le symétrique de K par rapport à O, on peut en déduire que O est le milieu de [AIK]"

...................................................

déjà le milieu de AIK ????

et comment on sait que I est le symétrique de K par rapport à O?
tu commences en disant qu'on ne sait pas que O est milieu
et ensuite tu sais (comment?) que I est le symétrique de k par rapport à O.