Suites et series de fonctions

par **fonfon** » 01 Sep 2006, 19:47

Salut, je sais pas si ca a été déja posé car c'est rare que je vienne ici:

Soit

une suite de polynômes à coefficient réels, convergeant sur R uniformément, vers une fonction f.

Prouver alors que f est un polynôme.

Ps:ce n'est pas trop dur

par **abel** » 02 Sep 2006, 20:06

Y a un truc que je comprend pas :
Si on prend :
Pn = somme(k=1..n ; x^k)
Pn est bien un polyonme et pourtant il converge vers 1/(1-x) (pour |x|<1).
Enfin j'ai ptetr zappé une étape...

par **fonfon** » 02 Sep 2006, 20:16

Salut, je pense que tu as peut-être zappé qq chose

moi j'utilise le fait que

verifie le critère de Cauchy uniforme.ET que seuls les polynomes constant sont bornés sur R....

par **Bija** » 02 Sep 2006, 20:17

Oui mais ne converge pas uniformément sur R, donc ca ne correspond pas aux hypothéses du probléme posé : si on remplace R par un intervalle borné ca change tout !

Pour la solution, on a pour n>N, || Pn-PN|| <1 or les seuls polynomes bornés sont les polynomes constants donc il existe une suite de réels an tq Pn=PN+an, pour n>N. La suite an converge donc vers f(0)-PN(0)=k, mais aussi vers f(x)-PN(x), puisque Pn(x) converge vers f(x) qd n tend vers +infini, qq soit x réel.
D'ou f=PN+k est un polynôme.

par **fonfon** » 03 Sep 2006, 12:28

bien Bija je vais juste redétailler un peu

La suite

verifie le critère de Cauchy uniforme.

Soit

; alors

,

donc

,

Or seuls les polynômes constants sont bornés sur R, donc:

,

.

La suite

converge vers f(0), donc la suite

converge vers

.

, on a:

donc

donc f est bien un polynôme

A+

par **atito** » 15 Sep 2006, 15:33

bien évidemment, cet exo n'est pas d'un olympiade mais juste le cours du SUP!!
Fallait penser à le poster dans supérieur je pense

par **Bija** » 17 Sep 2006, 18:35

la convergence uniforme se voit en spé.

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