Dm pr demain

[gatchou]

bonjour j'ai un petit problème pour mon dm de math de demain si vous pouviez m'aider ce serait sympa.
j'ai f(x)= ( x^4-3x^2-4)/(x^3-4)

on me demande de trouver la fonction dérivée de f juske la c'est bon mais après on me dit:
démontrer que l'équation t^3+15t-4=0 admet une seule solution sur R.
je suis bloqué si vous pouviez m'aider... merci d'avance

[Nightmare]

Bonsoir :happy3:

Soit la fonction t -> t^3+15t-4

Sa dérivée a pour expression 3t²+15 qui est strictement positif quelque soit t. On en déduit que la fonction croît strictement sur R.

Sa limite en -oo est -oo et celle en +oo est +oo.
Il existe donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires un réel k qui annule la fonction.
Supposons qu'il existe un autre réel k' tel que f(k')=0
On aurait alors f(k')=f(k).
Or la fonction est strictement croissante sur R, c'est à dire que pour tout a, b de R tels que a < b, f(a) < f(b).

Par conséquent la seule solution pour que f(k')=f(k) est que k'=k.

La fonction s'annule ainsi une seule et unique fois sur R

:happy3:

[gatchou]

oula ba je m'attendais pas à une réponse si vite merci beaucoup. et si tu pouvais m'aider aussi pour une autre question.
En déduire les variations de f sur chaque intervalle de Df...
Merci beaucoup !!!!