Bonjour,
J'ai un dm à rendre dans quelques jours, et je ne parviens pas à répondre à certaines questions malgré mes innombrables calculs.
Voici la partie de l'exercice qui me pose problème:
v(x)= (racine(x²+1)-1)/x
g(x)= Arctan (v(x))
1/ calculer v'(x)
2/ montrer que la fonction g admet une expression plus simple sur son ensemble de définition.
1/Pour la première question, je trouve que v'(x)= -1/(x²*racine(x²+1))
2/Pour la seconde question, j'ai essayé plusieurs choses.
Je pense qu'il faut utiliser la première question.
C'est pourquoi il m'a semblé judicieux de calculer la dérivée g', puis de refaire l'intégrale et trouver la constante pour un x particulier.
Seulement, je ne parviens pas à réintégrer la dérivée que j'ai obtenue.
Cette dernière étant de -1/(2(x²+1)(racine(x²+1)-1)
J'ai déjà essayé de poser x=sht, mais alors, je ne sais pas mieux calculer l'intégrale de 1/(2cht(cht-1)).
Suis-je partie dans une mauvaise direction, ou n'ai-je pas été assez loin dans mes calculs ?
Merci d'avance.
Simplifier une fonction
6 messages
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par emdro » 29 Oct 2014, 15:29
Bonjour, et bienvenue sur le forum!
1. Revois ton calcul pour la dérivée de v : il y a une erreur.
2. Ensuite, lorsque tu l'auras corrigée, calcule la dérivée de g, et tu verras qu'elle se simplifie considérablement. Sauf erreur, tu devrais arriver à :=\frac{1}{2(1+x^2)})
.
Tu pourras alors facilement simplifier l'expression de g, en primitivant sur chacun des intervalles de l'ensemble de définition.
1. Revois ton calcul pour la dérivée de v : il y a une erreur.
2. Ensuite, lorsque tu l'auras corrigée, calcule la dérivée de g, et tu verras qu'elle se simplifie considérablement. Sauf erreur, tu devrais arriver à :
Tu pourras alors facilement simplifier l'expression de g, en primitivant sur chacun des intervalles de l'ensemble de définition.
par mathelot » 29 Oct 2014, 15:31
bonjour,
=\frac{x^2}{x^2+1+1-2\sqrt{x^2+1}+x^2} \times \frac{\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}-(\sqrt{x^2+1}-1)}{x^2})
=\frac{1}{2 \sqrt{x^2+1}( \sqrt{x^2+1}-1)} \times (\sqrt{x^2+1}-1))
=\frac{1}{2 (x^2+1)})
=\frac{1}{2} Arctan(x))
avec g(0)=0 par prolongement par continuité.
remarque
quand tu as une expression comme
^2+1})
tu développes
de tête, fais passer le 
" à côté,
à la place du 1, et une copie du remonte au numérateur.
ii) = \frac{d}{dx} \sqrt{x^2+1}|_{x=0}=0)
car cette limite n'est autre que le nb dérivé de
en 
avec g(0)=0 par prolongement par continuité.
remarque
quand tu as une expression comme
tu développes
à la place du 1, et une copie du
ii)
car cette limite n'est autre que le nb dérivé de
recollement de classe C infinie
par mathelot » 29 Oct 2014, 16:06
Pour le raccord,
a priori, g est définie sur l'ouvert
en posant g(0)=0, on prolonge
par continuité.
Sur l'ouvert U, g coincïde avec une fonction dérivable.
or,=\frac{1}{2}= g'_d(0))
et
=\frac{1}{2}= g'_g(0))
comme corollaire du TAF, qui donne l'existence du nb dérivé comme limite de la
fonction dérivée en x=0, celle-ci n'étant pas définie en x=0.
-f(0)}{x}=\lim_{x \rightarrow 0} \, f'(\theta \, x))
donc=\frac{1}{2})
comme g est de classe
, le raccord est de classe
et x=0 est une fausse singularité.
a priori, g est définie sur l'ouvert
en posant g(0)=0, on prolonge
Sur l'ouvert U, g coincïde avec une fonction dérivable.
or,
comme corollaire du TAF, qui donne l'existence du nb dérivé comme limite de la
fonction dérivée en x=0, celle-ci n'étant pas définie en x=0.
donc
comme g est de classe
et x=0 est une fausse singularité.
par Chrysaphée » 30 Oct 2014, 10:29
Je vous remercie pour votre aide, j'avais en effet mal simplifié ma dérivée.
Je pense avoir compris vos réponse, et "l'astuce" me sera utile, je l'espère, pour diminuer mes erreurs de calcul.
Bonne journée à vous !
Je pense avoir compris vos réponse, et "l'astuce" me sera utile, je l'espère, pour diminuer mes erreurs de calcul.
Bonne journée à vous !
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