Géométrie dans l'espace - Equations de plans

[jeanjane]

Bonjour à tous,

J'ai un petit exercice de géométrie dans l'espace à résoudre. Je crois comment savoir faire d'un point de vue théorique mais je coince pour l'application pratique. Voici l'énoncé :

(O;i;j;k) est un repère orthonormal direct. (NB : i, j et k sont des vecteurs mais je ne sais pas mettre le signe)
Les points A, B, C sont définis par : OA = 2i ; OB = i+j ; OC = i+j+k (NB : De même, OA, OB et OC sont des vecteurs)
1. Montrez que les plans (OAB) et (ABC) sont perpendiculaires.
2.a. Déterminez des équations des plans médiateurs des segments [OA], [OB] et [OC].
b. Déduisez-en le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre OABC et le rayon de cette sphère.

Je pense être capable de traiter l'exercice à partir des équations des plans (OAB) et (ABC), le problème est justement que je ne sais pas trouver les équations à partir de vecteurs comme ça. A partir d'un vecteur normal oui mais là non..

Merci d'avance pour votre aide.

[gigamesh]

Bonjour,
pour qu'un vecteur n(a;b;c) non nul soit normal au plan (OAB), il faut et il suffit que n.OA=0 et n.OB=0 ce qui te donne un système de deux équations avec trois inconnues ; il y a une infinité de solutions, bien sûr, mais une solution (pas (0;0;0) ) te suffira pour avoir un vecteur normal à (OAB) puis l'équation cherché.

[jeanjane]

J'ai aussi vu qu'avec le produit vectoriel on pouvait obtenir un vecteur normal au plan.
Ici, en faisant OA^OB j'obtiens (0;0;2). Je dis que BC est le vecteur directeur de la droite (BC) donc (0;0;1). Puis produit vectoriel des deux :(0;0;2)^(0;0;1) = (0;0;0) donc le plan OAB et la droite BC sont perpendiculaires (puisque produit vectoriel = vecteur nul donc colinéaires). De plus (BC) appartient à (ABC) donc (OAB) et (ABC) sont perpendiculaires.

[gigamesh]

Oui, c'est correct.
Mais le produit vectoriel n'est pas au programme en TS, du coup ça risque de faire un peu bizarre si tu fais comme ça au bac.