Probleme geometrie 2nde

[aidezmoisvp1999]

Bonjour à tous, voici mon problème. J'éspère que vous pourrez m'aider !!

"(C) est un cercle de centre O et de rayon 2cm. Tous les cercles tracés à l'intérieur de (C) sont tangents deux à deux.
Calculer l'aire de la partie grise."

J'ai réussi à calculer l'aire du cercle de centre O, de centre I et de centre J mais je ne parviens pas à calculer l'aire du cercle de centre K.
Quand j'aurais cette donnée, je pensais soustraire l'aire des trois cercles au cercle de centre O et divisé le résultat par deux.


Merci d'avance


L'image est ici : je n'ai pas reussi a faire autrement.
http://www.ilemaths.net/img/forum_img/0618/forum_618645_1.jpg

[siger]

Bonjour,

Soit les rayons r1 (centre O), r2 (centre I et J) , r3 (centre K)
La droite OK coupe le cercle de centre O en L
la distance OK est egale a OL - KL = r1-r3 et le triangle IKO est un triangle rectangle en O
On peut donc calculer r3 en fonction de r1 puisque r2=r1/2, .........

[aidezmoisvp1999]

Comment calculer Ok dans le triangle IOK avec Pythagore car nous ne connaissons que IO qui fait 1. Ik fait r2+r3 mais nous ne connaissons pas r3...

[siger]

re

C'est justement ce qu'il faut calculer......
Relis ce que j'ai ecrit, on connait les trois cotes du triangle OIK!

[aidezmoisvp1999]

non on ne connait pas pas OK ni IK !

[chan79]

non on ne connait pas pas OK ni IK !

si le cercle de centre K a comme rayon r:
OI=1
OK=2-r
IK= ...

Pythagore

[aidezmoisvp1999]

IK(au carré) = OI(au carré) + OK (au carré)
IK(au carré) = 1 + (2-r) (au carré)
IK = (racine carrée de) 1+(4-4r+r au carré)

Désolé pour l'écriture je ne savais pas comment faire autrement...

[chan79]

IK(au carré) = OI(au carré) + OK (au carré)
IK(au carré) = 1 + (2-r) (au carré)
IK = (racine carrée de) 1+(4-4r+r au carré)

Désolé pour l'écriture je ne savais pas comment faire autrement...

IK=1+r

(1+r)²=(2-r)²+1²

[aidezmoisvp1999]

super merci bcp !!

[paquito]

Le triangle IjK est rectangle et isocèle en K, en raison de la symétrie de la figure:IK=1+r, JK =r et donc IK^2+JK^2=2^2, soit 2(1+r)^2=4 <=> 2r^2+4r=-2<=> r^2+2r-1=0<=>r= \srt{2}-1 ou r=\srt{2}+1(impossible car r<1)( r désigne bien sûr le rayon du petit cercle). donc, on a pour l'aire des 3 cercles \pi+ \pi+ \pi \srt{2}-1)^2= \pi(2+3-2\srt{2)}= \pi(5-2\srt{2}); il nous reste donc 2\pi- \pi(5-2\srt{2})=\pi(3-2\srt{2}).