Mes premiers pas sur les suites

[juju233]

bonjour
en ce moment en cours on fait les probas et la prof a dit qu'à la rentrée nous allions commencer les suites donc je fais des exercices tirés d'un annale pour m'entraîner histoire d'être prête à la rentrée mais bon je suis un peu perdu (évidemment avant j'ai lu le cours). pourriez vous m'aidez à comprendre cet exercice ?

alors voilà l'énoncé :

soit la suite numérique (Un) définie sur l'ensemble des entiers naturels N par Uo=2 et pour tout entier naturel N, Un+1=1/5Un+3x0,5^n

1.a recopier et, à l'aide de la calculatarice, compléter le tableau des valeurs de la suite (Un) approchées à 10^-2 près :
N 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Un 2

déjà ici je pense savoir comment faire :
U1=1/5U0+3*0,5^0=1/5*2+3*0,5^0=3,4 et ensuite ainsi de suite en remplaçant à chaque fois Un par le terme qui précède.

seulement je ne suis pas sûre d'une chose je me demande si il faut que je remplace le n de 0,5^n par 1 ou par 0 car ensuite évidemment le résultat ne sera pas le même pour U1 mais aussi pour U2 U3 U4 U5 U6 U7 U8.

b. d'après ce tableau, énoncer une conjecture sur le sens de variation de la suite (Un)


enfin déjà il faut que je les résultats car je ne sais pas encore par quoi remplacer n évidemment.
mais à mon avis il faut que je regarde sur mon tableau si :
Si pour tout n tu as u(n+1) > u(n) alors on dit que la suite (Un) est strictement croissante.
Si pour tout n tu as u(n+1) < u(n) alors on dit que la suite (un) est strictement décroissante
Si pour tout n tu as u(n+1) = u(n) alors on dit que la suite (un) est constante

est ce correct ?

il y a encore 3 questions mais j'aimerais d'abord que l'on m'éclaire sur celle ci pour être sûre de bien comprendre et pour ne pas m'enmêler les pinceaux

MERCI D AVANCE

[WillyCagnes]

bsr,

U1=1/(5U0) +3*0,5^0 = 1/(5*2) + 3*0,5^0 = 3,4?

n=0
0,5^0=1

U1=1/10 +3=3,1 et non 3,4

[juju233]

bsr,

U1=1/5U0 +3*0,5^0 = 1/5*2 + 3*0,5^0 = 3,4?

n=0
0,5^0=1

U1=1/10 +3=3,1 et non 3,4

???

1/5*2= 0,4 et 0,4+3*0,5^0= 3,4

U0=2 ...

[WillyCagnes]

excuse moi,

comment interprété 1/5U0?

j'ai confondu 1/(5*U0) different de (1/5)*U0, donc bien nous mettre les ()

donc U1=3,4 ok pour la 2è formule

[juju233]

ah excusez moi c'est vrai que ce n'était pas très lisible...
ainsi on a :
U0=2
U1=3,4
U2=2,18
U3=1,19
U4=0,61
U5=O,31
U6=0,16
U7=0,08
U8=0,04
donc ensuite la seconde question c'était :

2/ conjecturer le sens de variation de la suite (Un):

j'ai mis que je conjecture que La suite est décroissante car d'après le tableau on a pour tout n tu as u(n+1) < u(n) alors on dit que la suite (un) est strictement décroissante.

est ce correct ?

[WillyCagnes]

ok c'est bien

[juju233]

d'accord merci ensuite pour la question suivante :

démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, non nul on a :

Un>ou= (15/4)x0,5^n

du coup voila ce que j'ai fait :

Initialisation:
vérification pour n=1
U1=3,4

3,4>(15/4)x0,5^1
<=>3,4>1,875
<=>U1>(15/4)x0,5^1

Donc vraie pour n=1

Hérédité:

Supposons qu'il existe un entier naturel p tel que Un>ou= (15/4)x0,5^n
Montrons que Un+1>ou=(15/4)x0,5^n+1

On sait que Un+1= (1/5)Un + 3x0,5^n+1

Donc Un > (15/4)xO,5^n

(1/5)Un > (3/4)xO,5^n
(1/5)Un + 3 > (15/4)x0,5^n
(1/5)Un + 3x0,5n > (15/4)x0,5^n+1
donc Un+1 > (15/4)x0,5^n+1

Donc si la propriété est vraie au rang n elle est vraie au range n+1

Conclusion pour tout n>ou=1

Un > (15/4)xO,5^n

[juju233]

d'accord merci ensuite pour la question suivante :

démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, non nul on a :

Un>ou= (15/4)x0,5^n

du coup voila ce que j'ai fait :

Initialisation:
vérification pour n=1
U1=3,4

3,4>(15/4)x0,5^1
3,4>1,875
U1>(15/4)x0,5^1

Donc vraie pour n=1

Hérédité:

Supposons qu'il existe un entier naturel p tel que Un>ou= (15/4)x0,5^n
Montrons que Un+1>ou=(15/4)x0,5^n+1


On sait que Un+1= (1/5)Un + 3x0,5^n+1

Donc Un > (15/4)xO,5^n

(1/5)Un > (3/4)xO,5^n
(1/5)Un + 3 > (15/4)x0,5^n
(1/5)Un + 3x0,5n > (15/4)x0,5^n+1
donc Un+1 > (15/4)x0,5^n+1

Donc si la propriété est vraie au rang n elle est vraie au range n+1

Conclusion pour tout n>ou=1

Un > (15/4)xO,5^n

est ce correct ?