Probabilité et suites

par **sassou4497** » 27 Oct 2014, 09:53

j'ai un dm a faire mais je bloque voilà lénonce

Julia et Lucie aiment jouer l'une contre l'autre au tennis. Lorsqu'elles débutent une partie, Julia a autant de chances de perdre que de gagner le premier jeu.
On admet que lorsque Julia gagne un jeu, la probabilité qu'elle gagne le jeu suivant est 0,6; alors que si elle perd un jeu, la probabilité qu'elle perde le suivant est 0,7.
Pour tout nombre entier naturel n non nul, on note :
- Gn l'évènement : « Julia gagne le n-ième jeu »;
- Pn l'évènement : « Julia perd le n-ième jeu ».

1. a) Déterminer P(G1) et P(P1)
b) Calculer P(G2) et P(P2)
2. u et v sont les suites définies, pour tout nombre entier naturel n non nul, par :
un = P(Gn) et vn = P(Pn)
a) A l'aide d'un arbre pondéré, démontrer que, pour tout nombre entier naturel n >= 1 :
un+1 = 06un + 0,3vn et vn+1 = 0,4un + 0,7vn
b) Démontrer que la suite (un + vn) est constante.
c) Démontrer que la suite (4un 3vn) est géométrique.
3. a) Quelle est la probabilité que Julia gagne le 5ème jeu ? le 8ème jeu ?
b) La probabilité que Julia gagne un jeu peut elle être inférieure à 3/7 ? Justifier.
c) Si Julia et Lucie jouent un grand nombre de jeux, quelle est, arrondie au millième, la probabilité que Julia gagne le dernier jeu ?

les réponses que j'ai trouvé :

1) a. P(G1) = 1/2 et P(P1) = 1/2 car il est dit dans l'énoncé qu'elle a autant de chance de gagner que de perdre au 1er jeu.

b. P(G2) = P(G1 inter G2) + P(P1 inter G2) = 0,45
P(P2) = 1 P(G2) = 0,55

2) a. J'ai fait l'arbre pondéré

b. J'ai essayé mais je suis pas sure :
Un+1 + Vn+1 = 0.6Un + 0.3Vn + 0.4 Un + 0.7 Vn = Un + Vn
Donc c'est elle est constante car Un+1 + Vn+1 = Un + Vn

c. tn+1 = 4Un+1 -3Vn+1 = 4*(0,6Un+0,3Vn) -3*(0,4Un+0,7Vn) = 2,4Un + 1,2Vn - 1,2Un - 2,1Vn = 1,2Un - 0,9Vn
ensuite j'ai trouvé qu'il s'agissait d'une suite géométrique de raison 0.3

mais je bloque pour la suite qq'un peut m'aider svp

par **titine** » 27 Oct 2014, 10:05

Oui donc t(n+1) = 1,2 Un - 0,9Vn = 0,3 (4Un - 3Vn) = 0,3t(n)
Donc (tn) est bien géométrique de raison 0,3

3) On cherche P(G5) = U5
On sait que U5 + V5 = 1 (car la suite (Un+Vn) est constante et U1+V1=1
D'autre part : (tn) géométrique donc tn = t1 * q^(n-1) = t1 * 0,3^(n-1)
t1 = 4U1 - 3V1 = 4*1/2 -3*1/2 = 1/2
Donc tn = 4Un - 3Vn = 1/2 * 0,3^(n-1)

On a donc :
U5 + V5 = 1
et 4U5 - 3V5 = 1/2 * 0,3^4

Tu résous ce système pour trouver U5.

par **sassou4497** » 27 Oct 2014, 10:11

titine a écrit:Oui donc t(n+1) = 1,2 Un - 0,9Vn = 0,3 (4Un - 3Vn) = 0,3t(n)
Donc (tn) est bien géométrique de raison 0,3

merci, aurais tu une idée pour la suite ?

par **titine** » 27 Oct 2014, 10:15

sassou4497 a écrit:merci, aurais tu une idée pour la suite ?

Oui regarde ce que j'ai rajouté au dessus.

par **sassou4497** » 27 Oct 2014, 10:28

je suis super nul en maths je n'arrive pas a faire l'équation pourrait tu m'aider

par **sassou4497** » 27 Oct 2014, 10:33

titine a écrit:Oui regarde ce que j'ai rajouté au dessus.

je suis super nul en maths je n'arrive pas a faire l'équation pourrait tu m'aider

par **titine** » 27 Oct 2014, 10:51

As tu compris mes explications amenant au système ?

Tu n'arrives pas à résoudre le système :
U5 + V5 = 1
4U5 - 3V5 = 1/2 * 0,3^4
?

La 1ere équation donne V5 = = 1 - U5
On remplace dans la 2eme : 4U5 - 3(1 - U5) = 1/2*0,3^4
Donc 4U5 - 3 + 3U5 = 1/2*0,3^4
7U5 = 1/2*0,3^4 + 3
U5 = (1/2*0,3^4 + 3)/7

par **sassou4497** » 27 Oct 2014, 11:21

titine a écrit:As tu compris mes explications amenant au système ?

Tu n'arrives pas à résoudre le système :
U5 + V5 = 1
4U5 - 3V5 = 1/2 * 0,3^4
?

La 1ere équation donne V5 = = 1 - U5
On remplace dans la 2eme : 4U5 - 3(1 - U5) = 1/2*0,3^4
Donc 4U5 - 3 + 3U5 = 1/2*0,3^4
7U5 = 1/2*0,3^4 + 3
U5 = (1/2*0,3^4 + 3)/7

oui merci j'ai compris du coup pour connaitre U8 je peut le faire par récurrence ?

par **titine** » 27 Oct 2014, 11:26

sassou4497 a écrit:oui merci j'ai compris du coup pour connaitre U8 je peut le faire par récurrence ?

Oui, même méthode.

par **sassou4497** » 27 Oct 2014, 11:38

pour U5 j'ai trouvé 0.42915
et pour U8 0.42858705

tu pense que c'est juste?

par **sassou4497** » 27 Oct 2014, 11:41

titine a écrit:Oui, même méthode.

pour u5 j'ai trouvé 0.42915 et u8 0.42858705
est-ce juste?

par **sassou4497** » 27 Oct 2014, 12:24

sassou4497 a écrit:pour u5 j'ai trouvé 0.42915 et u8 0.42858705
est-ce juste?

pour la suite j'ai essayer de faire la loi binomiale mais je ne trouve pas n et p
un peut d'aide stp

par **sassou4497** » 27 Oct 2014, 12:27

titine a écrit:Oui, même méthode.

pour la suite j'ai essayer de faire la loi binomiale mais je ne trouve pas n et p

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