Probabilité

[pluie2]

Bonjour, j'aimerais avoir une aide pour cet exercice car je bloque :

On considère deux urnes U et V contenant respectivement trois boules numérotées 0 et trois boules numérotées 1. On appelle échange l'épreuve consistant à tirer une boule de U et une boule de V puis à les échanger (mettre chaque boule tirée dans l'urne dont elle ne provient pas). Pour tout n entier naturel, on désigne par X_n la variable aléatoire donnant la somme des numéros inscrits sur les boules se trouvant dans l'urne U à l'issue des n échanges.

a) Exprimer chacune des probabilités P(X_(n+1)=0) , P(X_(n+1)=1), P(X_(n+1)=2) et P(X_(n+1)=3) en fonction de P(X_n=0), P(X_n=1), P(X_n=2) et P(X_n=3).

L'exercice continu mais avant de le poster, j'aimerais réussir cette première question pour débloquer la suite.

j'ai écrit :

P(X_(n+1)=0)=P(X_(n+1)=0/X_n=0)P(X_n=0)
P(X_(n+1)=1)=P(X_(n+1)=1/X_n=1)P(X_n=1)
P(X_(n+1)=2)=P(X_(n+1)=2/X_n=2)P(X_n=2)+P(X_(n+1)=2)P(X_n=1)P(X_n=1)

bon je pense que c'est faux car j'ai du mal à comprendre comment faire

merci de m'aider !

[alpha1234]

en effet, ce que tu a écrit est faux car:

en réalité:

car pour des événements A et B:


Ce que tu devrais utiliser est la formule des probabilités totales:
[url=http://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_des_probabilités_totales]lien[/url]

qui te donnera:



ensuite tu raisonnes avec la structure du problème pour déterminer ces 4 probabilités conditionelles.

Par ex:
car une étape n'échange qu'une seule boule donc il est impossible de passer de 3 boules numérotés '1' à zéro boules numérotés '1' en une étape.

voila, j'espère que cela te met sur la bonne piste.

[pluie2]

ok merci je vais essayer de chercher et si j'ai un problème je vous dis ça d'ici à demain

par contre :

pour le reste des probabilités, dois je faire le meme calcul ? (pour le P(X_(n+1)=1) par exemple?

[Ben314]

ok merci je vais essayer de chercher et si j'ai un problème je vous dis ça d'ici à demain

par contre :

pour le reste des probabilités, dois je faire le meme calcul ? (pour le P(X_(n+1)=1) par exemple?

Oui : tu as 4 calculs à faire pour chaque P(X_(n+1)=?) avec ?=0,1,2,3

[pluie2]

d'accord donc admettons prenons :

P(X_(n+1)=0/X_n=1)= proba qu'au bout de n+1 échanges, la somme dans U1 soit égale à 0 sachant qu'on avait 1 auparavant. Donc on a retiré de U1 la boule n°1 et celle n°0 dans U2. Donc P()=1/3*1/3 ?

[Ben314]

d'accord donc admettons prenons :

P(X_(n+1)=0/X_n=1)= proba qu'au bout de n+1 échanges, la somme dans U1 soit égale à 0 sachant qu'on avait 1 auparavant. Donc on a retiré de U1 la boule n°1 et celle n°0 dans U2. Donc P()=1/3*1/3 ?

Oui, c'est bien ça.

[pluie2]

d'accord donc pour la suite :

P(X_(n+1)=0/X_n=2)=proba qu'au bout de n+1 échanges, la somme dans U1 soit égale à 0 sachant qu'avant, elle était de 2. elle vaut 0 cette probabilité non ?

[Ben314]

d'accord donc pour la suite :

P(X_(n+1)=0/X_n=2)=proba qu'au bout de n+1 échanges, la somme dans U1 soit égale à 0 sachant qu'avant, elle était de 2. elle vaut 0 cette probabilité non ?

Oui et de façon un peu plus générale, P(X_{n+1}=a|X_n=b)=0 lorsque a et b diffèrent de strictement plus d'une unité.

[pluie2]

ok j'ai réussi à tout retrouver !

par contre ensuite, on me demande de montrer que U_(n+1)=AU_(n) avec A une matrice 4*4 me redonnant les coeff trouvés précedemment et U_(n+1)=P(X_(n+1)=0...=3) ok

et on me demande d'en déduire E(X_n) en fonction de n

faut il faire une analogie ?

[Ben314]

Le vecteur ligne (0 1 2 3) fois le vecteur colonne

Et comme , c'est que
Aprés, si on veut une expression précise de ça, je pense qu'il faut calculer (valeur propres, diagonalisation, etc...)

A moins qu'il n'y ait une astuce qui m'échape...

[pluie2]

je n'ai pas encore vu les valeurs propres par contre j'ai oublié de préciser que U_(n+1) était en colonne...
est ce que ça change quelque chose?