Du second degré en 3ème ???

[Suigetsu]

Bonjour à vous, j'ai un exercice qui me pose problème: je dois le rendre accessible à un élève de 3ème. En effet, celui-ci nécessite du second degré...
Le principe est simple, sachant que ABCD est un rectangle et que AB + BC + CD = 21m, à quelle distance de A doit se trouver le point B pour que l'aire soit maximale ?



Avec du second degré, on obtient facilement Aire(ABCD) = -2AB² + 21AB, donc en calculant (alpha ; beta) les coordonnées du sommet de la courbe représentative, on trouve AB = 5,25m pour une aire maximale.

Mais comment rendre ceci accessible à un élève de troisième ? Selon les recommandation de leur prof, il faudrait faire un tableau de valeur, or la solution n'est pas un entier donc ce serait beaucoup trop tâtonner avec un tableau de valeur.

Merci de me conseiller.

[chan79]

salut
si on pose =AB
Exprimer l'aire en fonction de ; on trouve

Développer et réduire

Montrer que les expressions sont égales
Conclure
Evidemment, c'est "parachuté"

[Suigetsu]

Sauf que là il s'agit de la forme canonique... niveau 2nde :s

[Suigetsu]

Svp vous auriez d'autres idées ?

[chan79]

Sauf que là il s'agit de la forme canonique... niveau 2nde :s

bien-sûr, mais l'élève n'a rien à savoir sur la forme canonique pour faire ces questions

[Suigetsu]

et bien en théorie il est censé trouver tout seul, surtout que les valeur alpha et beta que tu as donné sont censées être déterminer par un calcul

[Suigetsu]

Svp c'est assez urgent :s

[chan79]

Svp c'est assez urgent :s

à la rigueur, on pourrait faire un tableau de valeurs, remarquer la symétrie des résultats pour les aires et conjecturer que la valeur maximale est obtenue pour x=5.25

Ensuite, il faut démontrer.
On calcule la valeur pour 5.25 et on trouve 441/8=55,125
il faut alors montrer que

x(21-2x)-55,125 est toujours négatif

x(21-2x)-55,125=-2(x²-10,5x+27,5625)
il faut reconnaître que le contenu de la parenthèse est un carré

Je ne pense pas qu'un élève de troisième puisse trouver ça tout seul.

[Suigetsu]

Oui moi aussi je ne pense pas qu'un élève de troisième puisse trouver seul, mais l'énnoncé est bien celui-ci. J'ai été le premier surpris que la prof ait donnée ce type d'exo

[Ben314]

Salut,
Le truc qui me semble plausible, c'est de commencer par un tableau de valeur avec par exemple uniquement des x entiers puis, au vue de ce premier tableau, d'en faire un autre plus précis (dixième par dixième par exemple) pour x entre 5 et 6 et éventuellement de continuer à "raffiner" la précision.

[chan79]

J'ai été le premier surpris que la prof ait donnée ce type d'exo

Il faudrait savoir ce qui a été fait en classe ces derniers temps. Attention à ne pas juger trop vite.
Par ailleurs, un tableau ne démontrera rien. Il faudra bien finir par prouver par le calcul.

[Suigetsu]

Il faudrait savoir ce qui a été fait en classe ces derniers temps. Attention à ne pas juger trop vite.

La notion de fonction. Donc fonctions quelconques et affines (et linéaires). Mais à ce que j'ai pu constater, les DM donnés ne sont pas en rapport avec le cours étudié

[Suigetsu]

Vous pensez que c'est possible d'utiliser un graphique géogébra pour répondre au problème, même si ce n'est pas demandé ?

[Suigetsu]

Sinon sur un autre forum quelqu'un a écrit :

Soit l la largeur et L la longueur.
Ecrivons que L=l+k

Alors A=l.L=l.(l+k)
A=l.l+l.k

Interprétons géométriquement ce que cela veut dire.
L'aire est celle d'un carré et d'un rectangle.

L'aire sera maximale si k=l car alors l'aire du rectangle est celle d'un carré.
Ainsi 21=l+l+l+l
l=21/4=5,25

Ça me semble cohérent, hormis le fait que l'aire est maximale lorsque k=l. En effet, je me pose la question comment sait-on cela ?

[Suigetsu]

Je UP le sujet...

[beagle]

Ben je trouve curieux que le coté d'un carré, lorsque 3 cotés font 21, ne soit pas à 7
mais grace au calcul à 5.25

sinon sans second degré, faut voir avec les petits carreaux,
voir que les rectangles symétriques ont mème surface
cela diminue plus le rectangle est plat horizontalement ou verticalement,
que plus c'est carré plus on augmente,
et qu'on rebascule de l'autre coté par symétrie ...

c'est pas de la grosse démonstration, m'enfin si on veut éviter le second degré ...