Demande d'exercices - PGCD, Bézout, Gauss

Réponses à toutes vos questions de la 2nde à la Terminale toutes séries
OY9151
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par OY9151 » 17 Oct 2014, 13:50

Bonjour ,


"Mais pour cela, il faut savoir résoudre les équations diophantiennes du premier ordre à 3 inconnues"

Permettez moi d'affirmer que les solutions des équations diophantiennes linéaires à n inconnues se résolvent de façons très simples en utilisant le schéma d'OURAGH . Au moyen de ce schéma j'obtiens comme solution particulière de l'équation proposée 15z+10y+6x=7 zo=-7 , yo=7 et xo=7
Pour la suite on procédera comme pour le cas de deux variables c'est à dire résoudre
15z+10y+6x=7 et 15(-7)+10(7)+6(7)=7
d'où 15(z+7)+10(y-7)+6(x-7)=0
Par exemple pour x=7 on aura 15(z+7)+10(y-7)=0 En utilisant GAUSS on aura
z=10k-7 y=-10k+7 avec k appartenant à Z.
On procédera de même avec y=7 et puis z=-7 pour les deux autres ensembles de triplets (x,y,z).
Au revoir.



paquito
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par paquito » 17 Oct 2014, 15:13

upium666 a écrit:Je ne la trouve pas très rigoureuse :

a=11n+3
b=13n-1
PGCD(a,b)=50

50/a et 50/b

alors :



Par somme :



a=11n+3=275u+25
b=13n-1=325u+25





On remplace dans


J'ai dit que ce n'est pas rigoureux car à aucun moment je n'ai parlé de PGCD et j'ai l'impression que je n'ai fait qu'avoir eu du bol dans cet exemple ... :s



si d divise a et b, d divise 3b donc a+3b=50n.

OY9151
Membre Naturel
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par OY9151 » 17 Oct 2014, 16:57

"15a+8b=c, je n'y arrive pas " solution particulière : a=-c et b=2c

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Ben314
Le Ben
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par Ben314 » 17 Oct 2014, 17:42

Psssst les gars, vous avez regardé de quand il date ce post ?
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

paquito
Membre Complexe
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Enregistré le: 26 Fév 2014, 14:55

par paquito » 18 Oct 2014, 10:44

OY9151 a écrit:"15a+8b=c, je n'y arrive pas " solution particulière : a=-c et b=2c


C'est bon! Donc solution générale a=-c-8k, b=2c+15k.

Mikihisa
Membre Relatif
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Enregistré le: 23 Mai 2014, 14:03

par Mikihisa » 18 Oct 2014, 17:29

Exercice difficile (hors-programme).

On note Z/nZ l'ensemble des restes possibles dans la division euclidienne par n, i.e. Z/nZ = {0,1,...,n-1}. ( On parle de "classe" de congruence, par exemple la classe de 8 dans Z/5Z est 3. )

On considère alors une addition et une multiplication dans cette ensemble en posant :
Si a,b Z/nZ, on définie a+b comme le reste dans la divison euclidenne de a+b par n, et de même a*b est le reste dans la division euclidienne de ab par n.
On peut définir de même "l'opposé" de a, noté -a, en posant -a = a+n. Il est clair que -a + a = 0.
On dira que a est inversible dans Z/nZ si il existe b (dans Z/nZ) tel que ab = 1 (c'est à dire si ab 1 [n] ).

1) Montrer que a est inversible dans Z/nZ si et seulement si pgcd(a,n) = 1.
2) Montrer que p est premier si et seulement si tout élément différent de 0 est inversible dans Z/pZ.


Mince j'avais pas vu que c'était un déterrage :( tant pis...

 

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