Considérons la fonction
Considérons le premier polynôme de Bernoulli périodique
Si
Notons
Alors on calcule que
Cependant il est clair que
Coefficients de Fourier : paradoxe ?
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Coefficients de Fourier : paradoxe ?
par lapras » 17 Oct 2014, 21:50
Bonjour, j'ai un problème qui semble paradoxal qui intervient quand j'essaie d'écrire la fonction )
en série de Fourier. Je n'ai pas fait d'analyse depuis longtemps, donc il se peut que ça soit trivial.
Considérons la fonction
donnée sur 
par =min(x,y))
, sur 
par 
et prolongée par -périodicité (i.e. =f(x,y+1)=f(x,y))
pour tous 
).
Considérons le premier polynôme de Bernoulli périodique = x-\frac{1}{2})
si 
,=0)
et 
est 
-périodique. Considérons le deuxième polynôme de Bernoulli périodique  = x^2-x-\frac{1}{6})
si ,=0)
et 
est -périodique.
Si
est une fonction -périodique, et que  \in \mathbb{Z}^2)
, on définit son )
-ième coefficient de Fourier par e^{2i\pi\cdot m \cdot x}e^{2i\pi\cdot n \cdot y} dxdy)
.
Notons = f(x,y)- \left( \frac{1}{3} + B_1(x)B_1(y) + \frac{1}{2}(B_1(x)+B_1(y)-B_2(x)-B_2(y)) \right))
.
Alors on calcule que
pour tout (on calcule que pour 
le coefficient de Fourier en est 
, que pour le 
-ième coefficient de Fourier est 
et pour c'est 
si 
, et on calcule facilement les coefficients restant ).
Cependant il est clair que
n'est pas presque partout nul. Je ne comprends pas comment une fonction dont tous les coefficients de Fourier sont nuls peut-être non presque partout nulle puisque la théorie de Fourier sur le tore 
devrait être appliquable et les caractères du tore sont les  \mapsto e^{2i\pi x}e^{2i\pi y})
.
Considérons la fonction
Considérons le premier polynôme de Bernoulli périodique
Si
Notons
Alors on calcule que
Cependant il est clair que
par mathelot » 18 Oct 2014, 11:18
bonjour,
il me semble que , pour une fonction d'une variable réelle,
si f est continue, de classe C1 par morceaux (ie, sa dérivée est continue sauf en un nombre fini de points,avec des limites à gauche et à droite)
alors f est somme de sa série de Fourier.
Maintenant, si f est plus irrégulière, on somme sa série de Fourier au sens de Césaro, on obtient alors
un autre noyau (Dirichlet,Féjer ?)
de deux choses l'une:
i) ou la fonction vérifie les hypothèses et il y a une erreur de calcul (le plus probable)
ii) ou elle ne vérifie pas les conditions de Dirichlet et il faudrait la sommer au sens de Césaro
à mon avis, il y a une erreur de calculs
par exemple, pour trouver des fonctions qui ne sont pas sommes de leur développement en
série entière en x=0, il faut quand même aller chercher)
,ie, loin;
l'exponentielle annulant tous les nombres dérivés , à tout ordre.
il me semble que , pour une fonction d'une variable réelle,
si f est continue, de classe C1 par morceaux (ie, sa dérivée est continue sauf en un nombre fini de points,avec des limites à gauche et à droite)
alors f est somme de sa série de Fourier.
Maintenant, si f est plus irrégulière, on somme sa série de Fourier au sens de Césaro, on obtient alors
un autre noyau (Dirichlet,Féjer ?)
de deux choses l'une:
i) ou la fonction vérifie les hypothèses et il y a une erreur de calcul (le plus probable)
ii) ou elle ne vérifie pas les conditions de Dirichlet et il faudrait la sommer au sens de Césaro
à mon avis, il y a une erreur de calculs
par exemple, pour trouver des fonctions qui ne sont pas sommes de leur développement en
série entière en x=0, il faut quand même aller chercher
l'exponentielle annulant tous les nombres dérivés , à tout ordre.
par lapras » 18 Oct 2014, 11:23
Merci pour ta réponse.
Attention, je n'ai jamais écrit que je sommais quoi que ce soit. Je dis juste qu'une fonction dont les coefficients de Fourier sont nuls a pour norme L^2 zéro, donc est presque partout nulle.
Je n'ai pas l'impression d'avoir fait une erreur de calcul : j'ai même vérifié le calcul sur ordinateur.
Attention, je n'ai jamais écrit que je sommais quoi que ce soit. Je dis juste qu'une fonction dont les coefficients de Fourier sont nuls a pour norme L^2 zéro, donc est presque partout nulle.
Je n'ai pas l'impression d'avoir fait une erreur de calcul : j'ai même vérifié le calcul sur ordinateur.
par mathelot » 18 Oct 2014, 11:27
si, tu sommes: on calcule une série de Fourier de manière qu'une fonction périodique
soit la somme d'harmoniques. Les coefficients de Fourier sont des "espèces" de coordonnées,
sans qu'une série soit une combinaison linéaire de fonctions de base, évidemment.
il y a des fonctions périodiques qui ne sont pas somme de leurs séries de Fourier.
soit la somme d'harmoniques. Les coefficients de Fourier sont des "espèces" de coordonnées,
sans qu'une série soit une combinaison linéaire de fonctions de base, évidemment.
lapras a écrit:Merci pour ta réponse.
Attention, je n'ai jamais écrit que je sommais quoi que ce soit. Je dis juste qu'une fonction dont les coefficients de Fourier sont nuls a pour norme L^2 zéro, donc est presque partout nulle.
Je n'ai pas l'impression d'avoir fait une erreur de calcul : j'ai même vérifié le calcul sur ordinateur.
il y a des fonctions périodiques qui ne sont pas somme de leurs séries de Fourier.
par lapras » 18 Oct 2014, 11:31
Je ne comprends pas ta réponse.
Si j'ai une fonction L^1 et L^2, je peux définir ses coefficients de Fourier (juste avec une intégrale). Cela induit une injection isométrique dans l'espace des suites (ici à deux indices) L^2.
Encore une fois, je n'ai jamais prétendu sommer la "série de Fourier". Je fais juste un calcul formel de coefficients.
Si j'ai une fonction L^1 et L^2, je peux définir ses coefficients de Fourier (juste avec une intégrale). Cela induit une injection isométrique dans l'espace des suites (ici à deux indices) L^2.
Encore une fois, je n'ai jamais prétendu sommer la "série de Fourier". Je fais juste un calcul formel de coefficients.
par mathelot » 18 Oct 2014, 11:35
de mémoire, il a été construit une fonction réelle d'une variable ,continue, périodique
qui n'est pas égale à la somme de sa série de Fourier.
je me rappelle plus, si sa série de Fourier diverge ou si (sa série de Fourier converge mais n'est pas égale à la fonction)
il y a deux difficultés:
i) faire converger la série
ii) l'égaliser avec f
qui n'est pas égale à la somme de sa série de Fourier.
je me rappelle plus, si sa série de Fourier diverge ou si (sa série de Fourier converge mais n'est pas égale à la fonction)
il y a deux difficultés:
i) faire converger la série
ii) l'égaliser avec f
par mathelot » 18 Oct 2014, 11:42
les étapes , en théorie , sont les suivantes:
i) calculer des coeff
(il faut bien que f soit intégrable )
ii) faire converger une série
comme c'est une série de fonctions, ça peut converger:
- ponctuellement
- uniformément
- normalement
- en normes L1 ,L2..
iii) une fois que la série converge, il s'agit de l'égaliser avec f
pour avoir un théorème de représentation.
ceci écrit, y a une erreur dans les calculs ? :we:
i) calculer des coeff
(il faut bien que f soit intégrable )
ii) faire converger une série
comme c'est une série de fonctions, ça peut converger:
- ponctuellement
- uniformément
- normalement
- en normes L1 ,L2..
iii) une fois que la série converge, il s'agit de l'égaliser avec f
pour avoir un théorème de représentation.
ceci écrit, y a une erreur dans les calculs ? :we:
par lapras » 18 Oct 2014, 11:45
Je ne vois pas où tu veux en venir : je n'ai pas besoin de passer aux étapes ii) et iii). En effet il devrait y avoir une erreur de calcul, mais je ne la vois pas (comme je l'ai déjà dit, j'ai même vérifié ceci à l'ordinateur).
par mathelot » 18 Oct 2014, 11:47
lapras a écrit:Je ne vois pas où tu veux en venir : je n'ai pas besoin de passer aux étapes ii) et iii).
explique moi ce que tu veux faire et quels théorèmes tu souhaites appliquer.
remarque: ce dont je me rappelais plus, c'est que l'égalité de Parseval ,au sens L2,
est moins forte que la convergence de la série vers f (les hypothèses à faire sur f sont différentes)
ici
par mathelot » 18 Oct 2014, 12:03
le souci, c'est qu'il faut refaire les calculs derrière toi , et ça j'ai la flemme (dsl) :hum:
par Ben314 » 19 Oct 2014, 19:09
Salut,
Si je me suis pas trop gouré, le coefficient
de la fonction 
vaut 
alors que celui de l'autre fonction (celle que tu retranche à pour trouver 
) vaut 
.
OUF...
P.S. Faire attention au fait que, par exemple Maple, donne comme coefficient "général"
sans tenir compte des cas particulier clairement visibles où ou 
nul mais sans signaler non plus un cas particulier pour 
...
Si je me suis pas trop gouré, le coefficient
OUF...
P.S. Faire attention au fait que, par exemple Maple, donne comme coefficient "général"
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par Ben314 » 19 Oct 2014, 19:15
Salut,
Si je me suis pas trop gouré, le coefficient de la fonction vaut alors que celui de l'autre fonction (celle que tu retranche à pour trouver ) vaut .
OUF...
P.S. Faire attention au fait que, par exemple Maple, donne comme coefficient "général" sans tenir compte des cas particulier clairement visibles où ou est nul mais sans signaler non plus un cas particulier pour ...
Si je me suis pas trop gouré, le coefficient
OUF...
P.S. Faire attention au fait que, par exemple Maple, donne comme coefficient "général"
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par lapras » 20 Oct 2014, 20:50
Merci beaucoup Ben ! (la vérification par ordinateur était numérique : j'ai vérifié pour quelques c_(m,n) que l'intégrale donnait bien ce que je voulais, avec mn !=0 puis avec m=0 ou n=0).
par lapras » 23 Oct 2014, 10:42
EDIT : J'ai réussi à calculer les coefficients de Fourier que je cherchais
par lapras » 25 Oct 2014, 15:20
ça fait plusieurs jours que je suis sur un calcul paradoxal (deux fonctions qui ont les mêmes coefficients de Fourier mais différentes, et j'ai fait attention aux coefficients exceptionels), impossible de comprendre où est l'erreur.
Considérons la fonction telle que pour 
, on a =1)
si 
et sinon, puis on prolonge par périodicité.
Soite^{-2i\pi\cdot m \cdot x}e^{-2i\pi\cdot n \cdot y} dxdy = \int_{x=0}^{\frac{1}{2}} e^{-2i\pi\cdot m \cdot x} \int_{y=0}^{\frac{1}{2}-x} e^{-2i\pi\cdot n \cdot y} dxdy)
.
Alors on a 5 cas :
Si \neq 0)
, on a :
^2}\cdot \frac{(-1)^m-(-1)^n}{n(m-n)}-\frac{1}{(2i\pi)^2}\cdot \frac{(-1)^m-1}{mn})
Si
et 
, on a :
^2}\cdot \frac{(-1)^n-1}{n^2}+\frac{1}{2i\pi}\cdot \frac{1}{2n})
Si
et 
, on a :
^2}\cdot \frac{(-1)^m-1}{m^2})
Si
, on a :
^m}{2m} - \frac{1}{(2i\pi)^2}\cdot \frac{(-1)^m-1}{m^2})
Si
et , on a :
J'ai vérifié tous ces calculs numériquement sur l'ordinateur : il y a peu de chance qu'il y ait une erreur.
Maintenant, sachant que le-ième coefficient de Fourier de )
est 
et que celui de )
est ^2}\cdot \frac{-2}{n^2})
(pour , pour 
le coefficient de Fourier est ), on devrait avoir :
 =B_1(x+y+\frac{1}{2})B_1(x+\frac{1}{2})-B_1(x+y+\frac{1}{2})B_1(x)-(B_1(x+\frac{1}{2})B_1(y)-B_1(x)B_1(y)) \\ -\frac{1}{2}\cdot(B_2(y+\frac{1}{2})-B_2(y) )-\frac{1}{2}\cdot B_1(y) \\<br />-\frac{1}{2}B_1(x)-\frac{1}{2}\cdot(B_2(x+1/2)-B_2(x)) \\<br />+\frac{1}{2}B_1(x+y+\frac{1}{2})+\frac{1}{2}\cdot (B_2(x+y+\frac{1}{2})-B_2(x+y))\\<br />+ \frac{1}{8})
Or ces deux fonctions sont complètement différentes.
Je ne comprends pas (j'ai vérifié des dixaines de fois les calculs). Ma reconnaissance éternelle à celui qui me dira où est l'erreur (et j'offre un verre).
Considérons la fonction
Soit
Alors on a 5 cas :
Si
Si
Si
Si
Si
J'ai vérifié tous ces calculs numériquement sur l'ordinateur : il y a peu de chance qu'il y ait une erreur.
Maintenant, sachant que le
Or ces deux fonctions sont complètement différentes.
Je ne comprends pas (j'ai vérifié des dixaines de fois les calculs). Ma reconnaissance éternelle à celui qui me dira où est l'erreur (et j'offre un verre).
par Ben314 » 25 Oct 2014, 22:54
Salut,
J'ai vérifié les coeffs. de f et j'ai trouvé la même chose que toi. (à la main vu que je suis en vacance et sur la trés vielle machine de ... mon père...)
J'ai pas pris le temps de regarder les coeffs de fourier de ton truc en B1 et B2, (à la main, je suis sûr de me gourrer...), mais ça me semble extrodinairement louche que tu puisse reconstituer ta fonction f qui est nulle sur un ouvert non vide à l'aide des fonctions B1 et B2 (même translatées) donc ça me semble (évidement...) tout aussi louche que tu puisse reconstituer les coeffs de f à l'aide de ceux de B1 et de B2, quelque soit la formule employée.
J'ai vérifié les coeffs. de f et j'ai trouvé la même chose que toi. (à la main vu que je suis en vacance et sur la trés vielle machine de ... mon père...)
J'ai pas pris le temps de regarder les coeffs de fourier de ton truc en B1 et B2, (à la main, je suis sûr de me gourrer...), mais ça me semble extrodinairement louche que tu puisse reconstituer ta fonction f qui est nulle sur un ouvert non vide à l'aide des fonctions B1 et B2 (même translatées) donc ça me semble (évidement...) tout aussi louche que tu puisse reconstituer les coeffs de f à l'aide de ceux de B1 et de B2, quelque soit la formule employée.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par lapras » 25 Oct 2014, 23:01
Ce n'est pas si louche que ça. Par exemple en une dimension, la fonction -B_1(x+\frac{1}{2})))
vaut 
sur 
et sur 
. Donc tu peux obtenir des fonctions indicatrices facilement avec des fonctions polynomiales de Bernoulli.
Pour ce qui est des coefficients de Fourier : par exemple le coefficient^2}\frac{1}{n(m-n)})
est le -ième coefficient de Fourier de B_1(x))
. De même ^2}\frac{(-1)^m}{n(m-n)})
est le -ième coefficient de Fourier de B_1(x+\frac{1}{2}))
.
Pour ce qui est des coefficients de Fourier : par exemple le coefficient
par Ben314 » 25 Oct 2014, 23:41
Effectivement... (j'ai trop coupé de bois aujourd'hui moi... :hein: )lapras a écrit:Ce n'est pas si louche que ça. Par exemple en une dimension, la fonction
Là j'ai rien comme logitiel de calcul.
Ta deuxième fonction, lorsque tu la représente, elle a des discontinuitées où ?
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par lapras » 26 Oct 2014, 00:16
Je n'arrive pas à avoir un graphe dynamique avec Sage (à cause d'un problème de Java...).
Mais j'ai une image statique :
Si la fonction de droite (avec les Bernoulli) vaut 
.
Mais j'ai une image statique :
Si
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