Intégrale particulière

[WhiteShadow]

Bonjour à tous!

Je bloque sur une intégrale qui ne me semblait pourtant pas si compliquée... Peut-être un détail que je ne vois pas. La voilà:

où x est la variable et a>1.



Voici mon principal essai:

1) J'ai traditionnellement posé: et donc et . Premier problème: mes deux bornes devienne 0 et 0... ce qui n'est pas possible pour ma réponse. Bref, j'ai quand même continué.

2) En développant, j'ai obtenu:
qui est une équation rationnelle dont le dénominateur n'a aucune racine réelle puisque a>1.


3) A ce stade, il existe une formule:

avec tels que .

Dans mon cas, j'ai donc .

4) Donc au final:



La primitive me semble correcte. Mais du moment que je dois intégrer avec les bornes 0 et 0... ça ne me sert à rien. Est-ce que quelqu'un a une idée?

[Ben314]

Salut,
Concernant les bornes, ce n'est pas vraiment surprenant que tu ait un soucis vu que la fonction x->tan(x/2) n'est franchement pas bijective de [0,2pi] dans ???.
Par contre, elle est bijective de ]-pi/2,pi/2[ dans R donc il faut que tu ramène ton intégrale à une intégrale de -pi/2 à pi/2 ce qui ici peut se faire en utilisant les propriétés de la fonction à intégrer (périodicité, ...)

[Ericovitchi]

avec un facteur 2 devant car dx = 2dt/(1+t²)
et puis tu peux toujours revenir aux x

[WhiteShadow]

avec un facteur 2 devant car dx = 2dt/(1+t²)
et puis tu peux toujours revenir aux x

Oui pardon, j'ai fais juste dans mes notes!

[WhiteShadow]

Salut,
Concernant les bornes, ce n'est pas vraiment surprenant que tu ait un soucis vu que la fonction x->tan(x/2) n'est franchement pas bijective de [0,2pi] dans ???.
Par contre, elle est bijective de ]-pi/2,pi/2[ dans R donc il faut que tu ramène ton intégrale à une intégrale de -pi/2 à pi/2 ce qui ici peut se faire en utilisant les propriétés de la fonction à intégrer (périodicité, ...)

Oui, j'ai essayé ça... Mais sans succès. J'espérais qu'il y ait autre chose.

En fait, pour être précis, j'ai pour r>0 et la réponse de mon intégrale doit être . Ce que je n'arrive pas à obtenir par les calculs ci-dessus.

Merci de vos réponses en tout cas.

[Ben314]

grâce à la périodicité de la fonction

en posant (bijective de sur )

[Ben314]

grâce à la périodicité de la fonction

en posant (bijective de sur )

[WhiteShadow]

Excellent! Très propre!

Un tout grand merci Ben314!

[WhiteShadow]

Pour finir, j'ai tout-de-même réussi avec ma méthode. Il m'a suffit d'utiliser la propriété:

que je ne connaissais pas!

Encore merci.

A une prochaine!

[Ben314]

Si x>0 (si x<0, la somme fait -pi/2)

[WhiteShadow]

Si x>0 (si x<0, la somme fait -pi/2)

Oui tout-à-fait! Mais mon x est même supérieur 1... Donc c'est en ordre. Merci