Géométrie

[Liloupe]

Bonsoir à tous,

Je me tourne vers vous parce-que je piétine pour résoudre un exercice de géométrie dont deux questions me posent problème. Voici l'énoncé :
On considère un carré C1= A1B1C1D1 et le quadrilatère C0=A0B0C0D0 tel que :
- B1 est le milieu du segment [A1B0]
- C1 est le milieu du segment [B1C0]
- D1 est le milieu du segment [C1D0]
- A1 est le milieu du segment [C1A0]

1. Démontrer que C0 est un carré.
2. Démontrer que la droite (A0A1) coupe le segment [C0D0] en son milieu et que la droite (B0A1) coupe le segment [A0D0].

Je pense que pour la première question, il s'agit d'utiliser les propriétés du carré (quadrilatère à 4 angles droits ou 4 côtés de même longueur), mais je n'arrive à trouver le point de départ.
Quant à la deuxième question, j'ai essayé de passer en revue toutes les propriétés que je connais pour démontrer qu'un point est le milieu d'un segment mais sans succès.
J'aimerais vraiment parvenir à résoudre cet exercice alors si vous avez des pistes pour m'aider je suis preneuse ! Merci d'avance !!

[mathelot]

i)
La figure ne manque pas d'angles droits.

par Pythagore, on montre aisément que A0B0C0D0
a tous ses côtés, de même longueur


résultat des courses , c'est un losange.('il n'est pas croisé)


il manque l'angle droit:

est la somme de deux angles complémentaires (considérer des cas d'égalité de triangles
isométriques)


A0B0C0D0 est un losange avec un angle droit, c'est un carré.

ii) appliquer la réciproque du théorème de la droite des milieux dans
le triangle A0C0C1

Une parallèle à un côté, passant par le milieu du second côté intersecte le 3ème côté en
son milieu.

[Liloupe]

Un grand merci pour votre réponse !
Mais comment appliquer Pythagore sans mesure ? En notant "x" la longueur d'un côté ?

Donc si je comprends bien j'applique le théorème de Pythagore dans les triangles A0A1B0, A0D0D1, D0C0C1 et C0B1B0.
Ce qui pour le premier triangle A0A1B0 donne :
A0B0 au carré = A0A1 au carré + A1B0 au carré = x au carré + (2x) au carré = 5x au carré
Donc A0B0 = racine carrée de 5x.
On fait de même pour les trois autres triangles et on trouve à chaque fois que l’hypoténuse vaut racine carrée de 5x, ce qui implique que la quadrilatère C0 a ses quatre côtés de même longueur donc c'est un losange.

J'ai bien compris que pour prouver que c'est un carré, il faut démontrer que le quadrilatère C0 a un angle droit, par contre je n'ai pas saisi comment faire. L'angle B0 est égale à la somme de l'angle A0B0A1 et de l'angle A1B0C0, mais comment prouver que leur somme = 90° ?

Enfin pour la dernière question, pour appliquer la réciproque du théorème des milieux vous vous situez bien dans les triangles A0D1D0 ET D0C1C0?

Encore merci pour votre aide !

[mathelot]

Un grand merci pour votre réponse !
Mais comment appliquer Pythagore sans mesure ? En notant "x" la longueur d'un côté ?

Donc si je comprends bien j'applique le théorème de Pythagore dans les triangles A0A1B0, A0D0D1, D0C0C1 et C0B1B0.
Ce qui pour le premier triangle A0A1B0 donne :
A0B0 au carré = A0A1 au carré + A1B0 au carré = x au carré + (2x) au carré = 5x au carré
Donc A0B0 = racine carrée de 5x.
On fait de même pour les trois autres triangles et on trouve à chaque fois que l’hypoténuse vaut racine carrée de 5x, ce qui implique que la quadrilatère C0 a ses quatre côtés de même longueur donc c'est un losange.

J'ai bien compris que pour prouver que c'est un carré, il faut démontrer que le quadrilatère C0 a un angle droit, par contre je n'ai pas saisi comment faire. L'angle B0 est égale à la somme de l'angle A0B0A1 et de l'angle A1B0C0, mais comment prouver que leur somme = 90° ?

l'angle A1B0C0 est égal à un angle complémentaire de A0BOA1 , leur somme vaut donc 90°

tous les triangles sont isométriques,ie, de même dimensions et leurs angles
sont deux à deux égaux

Enfin pour la dernière question, pour appliquer la réciproque du théorème des milieux vous vous situez bien dans les triangles A0D1D0 ET D0C1C0?

me rappelle plus la figure, de mémoire A1D1C0
mais le fait que la droite soit parallèle à la base du triangle vient de la comparaison
avec le côté du carré


Encore merci pour votre aide !

de rien...........

[Liloupe]

Par rapport à cet exercice, on me demande de rédiger le programme de construction de la figure.
Voilà ce que j'ai rédigé :

Piquer la pointe du compas sur le point A1 et mesurer la longueur du segment [A1D1].
Toujours en restant piqué sur le point A1, construire le point A0, symétrique du point D1 par rapport à A1, tel que A1 soit le milieu du segment [A0D1] (donc A0A1=A1D1).
A l’aide de la règle, tracer la droite (A0D1).

Piquer la pointe du compas sur le point B1 et mesurer la longueur du segment [B1A1].
Toujours en restant piqué sur le point B1, construire le point B0, symétrique du point A1 par rapport à B1, tel que B1 soit le milieu du segment [A1BO] (donc B0B1=B1A1).
A l’aide de la règle, tracer la droite (B0A1).

Piquer la pointe du compas sur le point C1 et mesurer la longueur du segment [C1B1].
Toujours en restant piqué sur le point C1, construire le point C0, symétrique du point B1 par rapport à C1, tel que C1 soit le milieu du segment [C0B1] (donc C0C1=C1B1).
A l’aide de la règle, tracer la droite (C0B1).

Piquer la pointe du compas sur le point D1 et mesurer la longueur du segment [D1C1].
Toujours en restant piqué sur le point D1, construire le point D0, symétrique du point C1 par rapport à D1, tel que D1 soit le milieu du segment [D0C1] (donc D0D1=D1C1).
A l’aide de la règle, tracer la droite (D0C1).

A l’aide de la règle, relier les quatre points A0, B0, C0, D0 construits pour former le quadrilatère A0B0C0D0.

C'est un exercice que je n'ai pas l'habitude faire, est-ce suffisamment détaillé d'après vous ?
Merci !