Exercice très difficile en arithmétique

[sophia94]

Bonjour à tous et à toutes, je suis élève en tronc commun et je bloque sur cet exercice:
Démontrer que : 4^105 + 3^105 est divisible par 13 , 49, 181, 379 mais non divisible par 5, 11.
Je vous prie de me faire part de n'importe qu'elle idée qui vous traverserez l'esprit, même si vous n'en êtes pas sûr!
Merci d'avance ! :lol3:

[zygomatique]

salut

si tu travailles avec les congruences ....

pour la divisibilité par 13, 49, 181 et 379 commence par calculer les premières puissances pour te permettre de simplifier ensuite

avec 5 ::





....

[mathelot]

pour le 1er modulo (13),

les puissances de 4 sont
1;4;3;12;-3=10;1



dans , l'exposant est lui modulo 5

[WillyCagnes]

bjr

a^(2k+1) + b^(2k+1) est divisible par (a+b)

donc pour notre problème, X = 3^105 + 4^05 serait divisible par 7 ...
ou comme 105 = 3*5*7 = 15*7 = 21*5 = 35*3

X serait divisible par 3^3+4^3 = 91 = 7*13
ou par 3^5+4^5 = 1267 = 7*181
ou par 3^7+4^7 = 18571 = 72*379

ce qui permet de répondre oui aux divisibilités restantes par 13,49,181 et 379

3^4 = 81 reste 1 mod(5)
(3^4)^26 *3 reste 3 mod(5)

4^2 = 16 reste 1 mod(5)
(4²)^52 *4 reste 4 mod(5)

3^105 + 4^105 soit 7 reste 2 (5)

non divisible par 5

puis
(3^5)^21 reste1 mod(11)
(4^5)^21 reste 1 mod(11)

donc non divisible par 11
----------------------

[zygomatique]

bjr

a^(2k+1) + b^(2k+1) est divisible par (a+b)

donc pour notre problème, X = 3^105 + 4^05 serait divisible par 7 ...
ou comme 105 = 3*5*7 = 15*7 = 21*5 = 35*3

X serait divisible par 3^3+4^3 = 91 = 7*13
ou par 3^5+4^5 = 1267 = 7*181
ou par 3^7+4^7 = 18571 = 72*379

ce qui permet de répondre oui aux divisibilités restantes par 13,49,181 et 379

3^4 = 81 reste 1 mod(5)
(3^4)^26 *3 reste 3 mod(5)

4^2 = 16 reste 1 mod(5)
(4²)^52 *4 reste 4 mod(5)

3^105 + 4^105 soit 7 reste 2 (5)

non divisible par 5

puis
(3^5)^21 reste1 mod(11)
(4^5)^21 reste 1 mod(11)

donc non divisible par 11
----------------------

super .... c'est bien .... tu sais faire .... :mur:

[sophia94]

salut

si tu travailles avec les congruences ....

pour la divisibilité par 13, 49, 181 et 379 commence par calculer les premières puissances pour te permettre de simplifier ensuite

avec 5 ::





....

Merci beaucoup pour ta réponse mais je n'y ai rien compris, sans doute parce qu'en classe nous ne sommes pas encore arrivés à ce stade là! Mais merci encore une fois!

[sophia94]

pour le 1er modulo (13),

les puissances de 4 sont
1;4;3;12;-3=10;1



dans , l'exposant est lui modulo 5

Merci à toi aussi Mathelot mais même remarque que pour zygomatique; en classe on a toujours pas étudié ce "modulo" et tout! Mais merci :lol3:

[sophia94]

bjr

a^(2k+1) + b^(2k+1) est divisible par (a+b)

donc pour notre problème, X = 3^105 + 4^05 serait divisible par 7 ...
ou comme 105 = 3*5*7 = 15*7 = 21*5 = 35*3

X serait divisible par 3^3+4^3 = 91 = 7*13
ou par 3^5+4^5 = 1267 = 7*181
ou par 3^7+4^7 = 18571 = 72*379

ce qui permet de répondre oui aux divisibilités restantes par 13,49,181 et 379

3^4 = 81 reste 1 mod(5)
(3^4)^26 *3 reste 3 mod(5)

4^2 = 16 reste 1 mod(5)
(4²)^52 *4 reste 4 mod(5)

3^105 + 4^105 soit 7 reste 2 (5)

non divisible par 5

puis
(3^5)^21 reste1 mod(11)
(4^5)^21 reste 1 mod(11)

donc non divisible par 11
----------------------

Merci pour ta réponse! J'ai compris le début et ça m'aide beaucoup pour avancer, mais sinon je crois qu'il faut démontrer d'abord que a^(2k+1) + b^(2k+1) est divisible par (a+b) avant de l'utiliser, chose que je vais essayer de faire !

[WillyCagnes]

bjr

voir ces liens pour comprendre
http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Decompos/Divanbn.htm

http://forums.futura-sciences.com/mathematiques-college-lycee/359369-demontrer-a-n-b-n-divisible-a-b-n-impair.html

[Ben314]

Je trouve le premier lien que tu cite... particulièrement pernicieux...

Il me semble destiné à un "petit niveau" où la notion de divisibilité est à comprendre sous la forme de divisibilité dans Z et pas de la divisibilité dans l'anneau K[a,b] des polynômes en deux variables !!!

Or on y voit écrit en toutes lettres que

a^2+b^2=(a+b)(a+b)-2ab -> NON [à la question "Divisibilité par (a + b) ?"]

Sauf que, si le contexte est la divisibilité dans Z, il me semble bien que 2+6=8 divise 2²+6²=40...

La conclusion finale (qui dit uniquement que ça marche lorsque l'exposant est impair) est correcte, mais le NON me choque franchement : il faudrait au minimum le faire suivre de "pour certaines valeurs de a et b" (et même dans ce cas, cela demanderais une preuve : l'existence de tels a et b...)

[zygomatique]

Merci beaucoup pour ta réponse mais je n'y ai rien compris, sans doute parce qu'en classe nous ne sommes pas encore arrivés à ce stade là! Mais merci encore une fois!

alors calcule avec un tableur les différentes puissances de 4 et de 3 et regarde leur reste dans la division par 13, 49, ....

pour conjecturer une règle générale sur 4^n et 3^n (modulo 13, ou 49, ....) et pouvoir répondre à ta question ....

[sophia94]

Merci à tous pour votre aide :lol3: