Leçon

[zork]

Bonjour

Je suis à la recherche d'un autre développement dans la leçon extension de corps. Que me proposez vous? (évitez les trucs comme Steinitz, th de construction de Gauss,...)


merci

[Monsieur23]

Aloha,

Primalité des nombres de Mersenne (dans Rannou / Saux Picart) ? Mais ça me paraît moins pertinent que Gauss-Wantzel…

[Ben314]

Salut,
Je ne sais pas si c'est super pertinent, mais il y a une très jolie preuve (presque) purement algébrique du fait que C est algébriquement clos (théorème de d'Alembert-Gauss pour les français) qui utilise la notion de corps de décomposition :

Regarde par exemple sur wiki. la preuve de 1)=>2) dans la partie Corps réel clos

[zork]

le problème c'est que d'Alembert Gauss se fait très vite avec Liouville

[Ben314]

le problème c'est que d'Alembert Gauss se fait très vite avec Liouville

Oui, mais

1) Je ne suis pas sûr qu'à l'oral de l'agreg. une application de la notion XXX soit à classer comme "non pertinente" du fait qu'il existe une autre preuve du résultat en question utilisant d'autres notions. Par exemple, dans le cas présent, qu'est ce qui te fait dire que la preuve par Liouville est "plus pertinente" que celle par les extensions proposées ?
Si c'est en terme de nombres de lignes utilisées, tout dépendra clairement du nombre de théorèmes considérés comme "connus" et évidement si tu suppose "connu" un résultat qui a comme corollaire immédiat le fait que C est algébriquement clos...

2) On peut parfaitement "vendre" que le théorème en question est plus général que le simple fait que C est algébriquement clos vu qu'il peut s'appliquer à tout corps réellement clos. Sauf erreur, il montrer en particulier que dans la définition axiomatique de R "corps totalement ordonné archimédien ayant la propriété de la borne sup", le "archimédien" n'est pas utile pour prouver que R[i] est algébriquement clos.

A mon avis, pour une leçon d'agreg. la question est plutôt de savoir si un truc qui utilise la notion de corps de décomposition a sa place ou pas dans une leçon dont l'intitulé parle uniquement d'extensions de corps.

[adrien69]

Théorème de Liouville-Rosenlicht sur les extensions de corps différentielles et l'expression de primitives sous la forme de fonctions "élémentaires" (tu te souviens quand on disait qu'une intégrale n'était pas calculable, eh bien c'est la version mathématique).

NB : on peut trouver des démonstrations qui ne fassent pas appel à la théorie de Galois différentielle.