Problemes Terminale S

[Doridoriane]

J'ai un dm a rendre pour la semaine du 13 octobre. Il est composé de 2 problemes. Pour l'instant voici l'enoncé du premier:
On cherche le point H tel que le trajet A-H-B soit le plus rapide possible.
Le trajet [AH] en mer est parcouru en canot a une vitesse de 4 km/h et le trajet [HB] sur la terre,est parcouru a une vitesse de 5 km/h.
Soit x=OH en km et t(x) la durée totale du parcours de A a B en heures.
Montrer que pour 0<=x<=6, t(x) = 1/4*racine carrée de x^2+1 - 1/5(x-6)
A quel endroit de la cote le canot doit-il accoster pour repondre au probleme ?
Il y a un schema representant la situation:
[OH]=x et [OB]=6km
[OA]=1km et OAH est un triangle rectangle en O

[bab21]

J'ai un dm a rendre pour la semaine du 13 octobre. Il est composé de 2 problemes. Pour l'instant voici l'enoncé du premier:
On cherche le point H tel que le trajet A-H-B soit le plus rapide possible.
Le trajet [AH] en mer est parcouru en canot a une vitesse de 4 km/h et le trajet [HB] sur la terre,est parcouru a une vitesse de 5 km/h.
Soit x=OH en km et t(x) la durée totale du parcours de A a B en heures.
Montrer que pour 0<=x<=6, t(x) = 1/4*racine carrée de x^2+1 - 1/5(x-6)
A quel endroit de la cote le canot doit-il accoster pour repondre au probleme ?
Il y a un schema representant la situation:
[OH]=x et [OB]=6km
[OA]=1km et OAH est un triangle rectangle en O

Bonsoir,

t(x)=tAH + tHB

tAH (le temps pour parcourir AH) = AH / 4 (t=d/v)

Tu as OAH rectangle donc AH²=OA²+OH²
Donc AH=racine(1+x²)
Donc tAH=1/4*racine(1+x²)

tHB= HB / 5

Avec HB = OB - OH = 6-x
Donc tHB=1/5*(6-x)

Donc t(x)= 1/4*racine(1+x²) + 1/5*(6-x) = 1/4*racine(1+x²) - 1/5*(x-6)

Pour la question d'apres tu cherches x tel que f(x) est minimal (calcul de t' et tableau de variations)

[Doridoriane]

Merci pour la premiere partie du probleme.
En revanche pour la deuxieme partie quand je derive t, je trouve t'(x)=2x/2(racine de x^2+1) - 1 c'est juste ?

[bab21]

Merci pour la premiere partie du probleme.
En revanche pour la deuxieme partie quand je derive t, je trouve t'(x)=2x/2(racine de x^2+1) - 1 c'est juste ?

2x/2(racine de x^2+1) est la dérivé de racine (x²+1)
donc la dérivé de 1/4*racine (x²+1) est 1/4*2x/2(racine de x^2+1)

t'(x)=1/4*2x/2(racine de x^2+1) - 1/5

[Doridoriane]

Est ce qu'on peut simplifier 2x/2(racine de x^2+1) ?

[bab21]

Est ce qu'on peut simplifier 2x/2(racine de x^2+1) ?

On peut simplifier par 2, mais pour le reste je ne pense pas.

[Doridoriane]

Apres avoir simplifié par 2 je trouve 1/4 (x/racine de x^2+1)-1/5.
Apres il faut que j'etudie le signe de 1/4; (x ?/racine de x^2+1) et de -1/5 pour en deduire les variations de f et donc le minimum?

[Babyzeta]

Bonjour j'ai un dm qui ressemble beaucoup au tien mais j'ai un probleme c'est que je dois trouver (9x^2-16)/20racine de x^2+1 *(5x+4racine de x^2+1) pour la derive. Moi j'ai trouver la meme que toi c'est a dire 1/4*2x/2racine de x^2+1 -1/5 mais je ne sais pas comment continuer :(