Sous-groupe engendré / morphisme

par **capitaine nuggets** » 01 Oct 2014, 19:18

Bonsoir,

Je bloque sur l'exercice suivant :
On se donne un morphisme de groupes

et un sous-ensemble

de

. On me demande de comparer

et

.
J'ai conjecturer que

mais je n'arrive pas à le prouver.
Auriez-vous une idée ?

par **cuati** » 01 Oct 2014, 20:15

Bonsoir,
par double inclusion :

donc

, or ce dernier est un sous groupe de G', donc

.
Réciproquement :
Soit

, il existe alors

tel que

.
Or, par définition du groupe engendré

, il existe

,

et

tels que :

. Donc du fait que

est un morphisme :

.
Donc

.

par **capitaine nuggets** » 01 Oct 2014, 20:20

Salut !

Ok, mais je ne comprends pas ce passage :

cuati a écrit:(...), or ce dernier est un sous groupe de G', donc .

De qui parles-tu ?

par **jlb** » 01 Oct 2014, 20:26

Double-inclusion?

E C donc f(E) C f() ....

soit y dans f() donc il existe x dans tel que y=f(x) . Comme x est dans , il existe un nb fini d'éléments a1,a2,a3..., de E ou inverses d'éléments de E tq x=a1a2a3... et après tu utilises la propriété de morphisme de f pour montrer que y apprtient à

à vérifier comme d'habitude

par **cuati** » 01 Oct 2014, 20:30

On a :

.
Or,

est un sous-groupe de

donc

est un sous groupe de

. (Car l'image d'un groupe par un morphisme est un groupe).
Pour résumer :

, donc

mais comme

est un groupe, on a

.
Donc

par **capitaine nuggets** » 01 Oct 2014, 20:39

cuati a écrit:On a : .
Or, est un sous-groupe de donc est un sous groupe de . (Car l'image d'un groupe par un morphisme est un groupe).
Pour résumer : , donc mais comme est un groupe, on a .
Donc

Merci pour tes explications :++:

par **capitaine nuggets** » 01 Oct 2014, 20:57

J'aurai une autre question, que se passe-t-il si

est injectif ou surjectif ?

par **capitaine nuggets** » 01 Oct 2014, 21:17

J'aurai une autre question, que se passe-t-il si

est injective ou surjective ?

par **cuati** » 01 Oct 2014, 21:40

capitaine nuggets a écrit:J'aurai une autre question, que se passe-t-il si est injective ou surjective ?

Question très vague,
On peut dire que

est injective si et seulement si

ou

est le neutre de

.
Lorsque

est surjective on a une propriété intéressante :
Pour tout sous-groupe

de

,

est un sous-groupe de

.

par **Doraki** » 01 Oct 2014, 21:48

cuati a écrit:Lorsque est surjective on a une propriété intéressante :
Pour tout sous-groupe de , est un sous-groupe de .

c'est vrai tout le temps ça, pas besoin d'avoir f surjective.

par **cuati** » 01 Oct 2014, 21:52

Oui Doraki, merci de rafraichir ma mémoire qui se fait vieille...

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