DM Suite

[yllen97]

Bonjour à tous, voilà j'ai un DM a faire et je n'arrive pas répondre aux différentes questions.

On considère la suite (Un) définie par U0 = 1,8 et pour tout n de N, Un+1 = f(Un) avec f(x) = 2/(3-x)

1. Démontrer que la fonction f est croissante sur [0;3]
On le prouve par la dérivée de la fonction: elle est donc croissante
on fait un tableau de signe et un tableau de variation avec comme intervalle [0;3]

2. Démontrer que la suite (Un) est bornée par 1 et 2

3. Démontrer que la suite (Un) est décroissante
Pour démontrer que la suite (Un) est décroissante je pense qu'il faut appliquer le raisonnement par récurrence mais je ne sais pas comment faire.
Initialisation: On démontre que P0 est vrai
U0 = 1,8 Après je ne vois pas qu'est ce qui faut que j'utilise pour démontrer

Héréditer
Conclusion


4. Montrer que la suite (Un) converge
La suite converge vers 3
5. Justifier que sa limite appartient à [1;1,8]

6. Conjecturer graphiquement sa limite en s'aidant du graphique ci contre (par contre je ne peux pas mettre la courbe, il faut que vous la traciez sur une calculette si possible :hum: )
On peut conjecturer que sa limite est de 0

7. Déterminer sa limite par le calcul.
Un = 2/(3-x)
lim 2 -> 2
lim 3-x -> -
Par quotient lim 2/(3-x) = 0

Il y a des questions restées sans réponses car je ne sais pas comment faire.
Pouvez-vous aussi me dire ce que j'ai fait est juste.
J'espère obtenir de l'aide. Merci d'avance.

[mathelot]

Bonjour à tous, voilà j'ai un DM a faire et je n'arrive pas répondre aux différentes questions.

On considère la suite (Un) définie par U0 = 1,8 et pour tout n de N, Un+1 = f(Un) avec f(x) = 2/(3-x)

1. Démontrer que la fonction f est croissante sur [0;3]

3 ouvert

On le prouve par la dérivée de la fonction: elle est donc croissante sur ]0;3[

la croissance est toujours par intervalle

on fait un tableau de signe et un tableau de variation avec comme intervalle [0;3]

2. Démontrer que la suite (Un) est bornée par 1 et 2

ok, 1 et 2 sont points fixes


3. Démontrer que la suite (Un) est décroissante
Pour démontrer que la suite (Un) est décroissante je pense qu'il faut appliquer le raisonnement par récurrence mais je ne sais pas comment faire.
Initialisation: On démontre que P0 est vrai
U0 = 1,8 Après je ne vois pas qu'est ce qui faut que j'utilise pour démontrer

vérifie [COLOR=Red]u_1 2
lim 3-x -> -
Par quotient lim 2/(3-x) = 0

Il y a des questions restées sans réponses car je ne sais pas comment faire.
Pouvez-vous aussi me dire ce que j'ai fait est juste.
J'espère obtenir de l'aide. Merci d'avance.

La limite est nécéssairement point fixe de f, vérifie l'équation



donc ou

[yllen97]

Je n'ai pas compris quand vous dites que la croissance est toujours par intervalle
et que les points 1 et 2 sont fixes

l'équation f(x) = x est une droite croissante
comment on peut savoir que Un est décroissant

[mathelot]

Je n'ai pas compris quand vous dites que la croissance est toujours par intervalle

est une fonction croissante sur et sur
mais pas sur

Je n'ai pas compris que les points 1 et 2 sont fixes

comment on peut savoir que Un est décroissant

en composant les images par croissante, on a:

[yllen97]

J'ai compris comment il fallait que je démontre que la fonction f est croissante
on calcule les images des 3 premiers terme de la fonction. Il augmente donc la fonction est croissante.

La suite est bornée par 1 et 2 car f(1) = 1 et f(2) =2 ???

Pour démontrer que Un est décroissante on doit montrer que
U1 < U0 mais on ne connait pas Un

[mathelot]

ici

.........

[mathelot]

après avoir regardé la figure, bien distinguer la courbe de f et les termes de la suite

comme coordonnées des points.

J'ai compris comment il fallait que je démontre que la fonction f est croissante

la fonction est croissante sur l'intervalle [1;2]

on calcule les images des 3 premiers terme de la fonction. Il augmente donc la fonction est croissante.

La suite est bornée par 1 et 2 car f(1) = 1 et f(2) =2 ???

Pour démontrer que Un est décroissante on doit montrer que
U1 < U0 mais on ne connait pas Un

on récurre l'inégalité en considérant les images par

[yllen97]

je comprends avec le graphique mais il faut le démontrer pas le conjecturer.
Donc il faut calculer U1 et U2 ?

On démontrer que la suite Un est décroissante en faisant Un+1 - Un?

[mathelot]

je comprends avec le graphique mais il faut le démontrer pas le conjecturer.

oui


Donc il faut calculer U1 et U2 ?

oui


On démontrer que la suite Un est décroissante en faisant Un+1 - Un?

non

ce qui fait avancer l'indice, c'est de prendre l'image de par ,

ça donne

comme est en ordonnée, on la reporte en abscisse, via la droite d'équation y=x

[yllen97]

Donc on Un+1 = f(Un)??

[mathelot]

oui...................

[yllen97]

mais pour faire ça il faut faire le raisonnement par récurrence et là je bloque

[mathelot]

l'inégalité

est héréditaire :we:



par f croissante:






peut être, comprendre la figure (le dessin) et les calculs sont faciles ensuite ?

[yllen97]

Est-ce que f(Un) est égale à f(x) = 2/ (3-x)? si c'est ça alors ça donne f(Un) = 2 / (3-Un)

Pour démontrer que la suite est bornée j'applique le raisonnement par récurrence
Pn: "1I: Po est vraie
1 < U0 < 2 -> 1 <1,8 <2
H: Hypothèse de récurrence 1Démontrons que 1
11-3 < 3-Uk < 2-3 On divise par 2 donc on multiplie par l'inverse
-2< 2 / (3-Uk) < -1
-1> Uk+1 >-1 Après je ne vois pas comment je peux faire

Merci de m'aider. :)

[mathelot]

Est-ce que f(Un) est égale à f(x) = 2/ (3-x)? si c'est ça alors ça donne f(Un) = 2 / (3-Un)

Pour démontrer que la suite est bornée j'applique le raisonnement par récurrence
Pn: "1 1 <1,8 <2
H: Hypothèse de récurrence 1<Uk<2 oui
Démontrons que 1<Uk+1 < 2

-2 < -Uk < -1
1<3-Uk<2 On ajoute 3
en passant à l'l'inverse
1/2< 1/(3-Uk) <1
1 < 2 / (3-Uk) <2

[yllen97]

[quote="mathelot"]
-2 [B]ici je ne comprends pas on multiplie par 1/2 l'encadré mais pas ce qu'il y a à l'intérieur [/B]
1 < 2 / (3-Uk) <2

[mathelot]

on ne multiplie pas, on passe aux inverses, comme ci-dessous:


0 < 3 < 5 < 7

0 < 1/7 < 1/5 < 1/3

tout semble se confondre car 1 et 2 sont points fixes justement.

[yllen97]

J'ai compris c'est juste qu'il me manquait des étapes donc j'ai fait
-2<-Uk<-1
3-2< 3-Uk<3-1
1< 3-Uk< 2
1> 1/(3-Un)>1/2
2>(2/3-Un)>1
1<2/3-Un<2
1Donc Pk+1 est vrai

[yllen97]

Par contre je voudrais savoir si c'est juste cette égalité : f(Un) = 2 / (3-Un)

[mathelot]

oui, c'est exact .