Fonction dérivé n fois

par **Dwarfs43** » 24 Sep 2014, 17:41

Bonjour
Je suis bloqué sur un exercice sans savoir même comment commencer :

legende :
= compris
^(x)=juste pour dire que c'est à la position de la puissance, mais c'est pour dire "dérivé x fois"

Soit f:x |-> cos(2x)
Montrer que pour tout n N* et tout x R
f^(n) (n) = 2^n cos(2x+(npi)/2)

par **Bimbooo** » 24 Sep 2014, 17:42

et pourquoi pas une récurrence ?

par **Dwarfs43** » 24 Sep 2014, 17:44

J'y ai pensé, mais j'avoue ne pas du tout réussir l'hérédité, il faudrait me guider ;x

par **Bimbooo** » 24 Sep 2014, 17:48

ok, donc l'initialisation est faite ?
C'est quoi la dérivée (n+1)ème d'une fonction ? (en fonction de la dérivée nième)

par **Dwarfs43** » 24 Sep 2014, 17:54

C'est la dérivé n elle même dérivé ?
donc f^(n)'

par **Bimbooo** » 24 Sep 2014, 18:00

Exactement, alors par récurrence on veut montrer pour tout

: pour tt

de

. Qu'est-ce qui te bloque ?

par **Dwarfs43** » 24 Sep 2014, 18:04

Il y a plusieurs trucs que je comprends pas, déjà à quoi nous sert "f:x -> cos(2x)" et la démarche à faire pour l'hérédité ...

par **Bimbooo** » 24 Sep 2014, 18:09

bah f c'est la fonction au départ, tu la dérives n fois et tu veux savoir ce que ça donne.
Ensuite le raisonnement pour l'hérédité est toujours le même : tu supposes P(n) et tu montres P(n+1).
Je t'ai donné P(n), qu'est-ce que c'est P(n+1) ? Comment le prouver ?

par **Dwarfs43** » 24 Sep 2014, 18:13

Ok c'est déjà plus clair, pour le prouver je fais
P(n)'=P(n+1)
tu fais comment pour écrire de manière mathématique, se serai plus simple pour moi

par **Bimbooo** » 24 Sep 2014, 18:18

En fait P(n) c'est la propriété "pour tt x bla bla bla".
Tu peux pas dériver ça ! Mais tu supposes P(n) c'est à dire, tu dis :

Supposons que pour tt

,

Et après tu veux déduire P(n+1), tu peux me dire ce qu'est la propriété P(n+1) ?

par **Dwarfs43** » 24 Sep 2014, 18:29

Bin je dois prouver que

la dérivé de :

par **Bimbooo** » 24 Sep 2014, 18:35

Dwarfs43 a écrit:Bin je dois prouver que

la dérivé de :

attention à l'utilisation de ce genre de symbole, ça ne veut rien dire...
Mais je crois que tu as quand même compris, tu sais dériver une composée ? (attention aux parenthèses dans le cos)

par **Dwarfs43** » 24 Sep 2014, 18:43

il me semble, sa donne

(est-ce qu'il faut dériver dans le cos ?)

par **Bimbooo** » 24 Sep 2014, 18:51

excuse moi, j'ai oublié le 2 devant le x précédemment, et tu as du coup fait pareil
C'est une fonction dont x est la variable, n est une constante, 2 puissance n aussi...

par **Dwarfs43** » 24 Sep 2014, 19:04

Donc il faut que je prouve que

par **Bimbooo** » 24 Sep 2014, 19:16

non ! La dérivée est fausse : tu dérives en fonction de x, pas de n !

par **Dwarfs43** » 24 Sep 2014, 19:21

je dois re dans 30minutes environ, j'essaie de faire vite

par **Dwarfs43** » 24 Sep 2014, 19:56

Voilà je suis de retour, et j'ai pas compris mon erreur, il faut bien que je dérive

par **Bimbooo** » 24 Sep 2014, 20:20

Dwarfs43 a écrit:Voilà je suis de retour, et j'ai pas compris mon erreur, il faut bien que je dérive

Si f est définie par :

, quelle est la dérivée de f ?

par **Dwarfs43** » 24 Sep 2014, 20:27

Fonction dérivé n fois

Fonction dérivé n fois

Qui est en ligne