DM de mathématiques suite et recurrence

[Queviso86]

Bonjour je suis bloqué pour deux exercices pouvez vous m'aider ?

1) on souhaite comparer les croissances pour n entier naturel des progressions 3^n et n!.

n u(n)=3^n V(n)= n!

0. 1. 1
1. 3. 1
2. 9. 2
3. 27. 6
4. 81. 24
5. 243. 120
6. 729. 720

A) conjecturer alors une relations d ordre entre u(n) etv (n)
Pour n entier de plus en plus grand.
B) démontrer la. Conjecture a l aide d un raisonnement par récurrence.


2) démontrez pour tout n appartenant a N*, que :
a^n - b^n = (a-b) ( somme i=0 et n-1) a^(n-1-i) * b^i


Aide : a^(n+1) - b^(n+1) = a* a^n -b * b^n

[mathelot]

Bonjour,





Ecris les relations de récurrence vérifiées par chaque suite, indépendemment de l'autre suite.

tu vas tout de suite deviner laquelle l'emporte

[Queviso86]

Bonjour,





Ecris les relations de récurrence vérifiées par chaque suite, indépendemment de l'autre.

tu vas tout de suite deviner laquelle l'emporte

Comment ça ?

[mathelot]

ce qui est demandé est une formule de récurrence.

[Queviso86]

ok pour celle la je pensais pas que juste cela était suffisant. mais le reste je suis bloquée.

[mathelot]

Est ce que tu peux écrire une formule de récurrence pour la suite sachant que



?

qu'est ce qu'une formule de récurrence ?

[mathelot]

ce que je demandais:



et



que devines tu ? (= conjecturer)

[mathelot]

tu peux me donner un retour, svp ?

[mathelot]

et







en fait,(v_n) croit beaucoup plus rapidement que (u_n).

ça ne se devine pas sur les premiers termes que tu as écrits

[mathelot]

tu peux me donner un retour, svp ? j'ai essayé de t'expliquer des aspects intéressants de cet énoncé.

[mathelot]

l'hypothèse de récurrence à poser est:

P(n) := n! > 3^n


Elle récurre dès par modus ponens.


Elle ne s'initialise qu'au bout d'un certain nombre d'itérations, à au début, elle est fausse.

modus ponens:


___________

[mathelot]

(1)

(2)



par produit de (1) et (2).

Elle est donc héréditaire dès n=2 par modus ponens (ie, via une certaine façon de démontrer
qui est de poser l'hypothèse de récurrence)

Elle est vraie à partir de n=7

(en fait elle est héréditaire dès le début car elle est fausse pour n <7)

[Queviso86]

Merci beaucoup c'est trés gentil :)