Méthode de Gauss pour les formes quadratiques

[744]

Bonjour à tous !

J'étudiais la méthode de décomposition de Gauss pour les formes quadratiques, et je me suis heurtée à une petite incompréhension :

Pour mieux comprendre, j'ai utilisé un exemple concret. Je me suis donc placée dans un evn de dimension 3, et ai choisi comme forme quadratique (avec ) , et comme base , , .

Première chose : je sais que la matrice d'une forme quadratique est donnée par , où désigne la forme polaire de q.
On a aussi que
Or, on ne retrouve pas avec cette formule la formule que j'avais choisie pour q.

Je crois comprendre que j'avais, la première fois, exprimé q en fonction de la base canonique, alors que la formule avec la somme me donne q exprimé avec la base . D'accord.

Je continue mon exemple, et procède à la première étape de la décomposition (avec la formule de q exprimé dans la base ).

Si je ne me suis pas trompée, on arrive à avec , c'est-à-dire, toujours si je n'ai pas fait d'erreur,

Voilà mon problème :

A ce stade encore, la formule avec la somme, utilisée avec , ne me redonne pas le trouvé avec la décomposition. Est-ce que cela signifie que le de la décomposition est lui aussi exprimé dans la base canonique, bien que je sois partie d'un q exprimé dans la base ? Faut-il lui aussi le réexprimer, avant de passer à l'étape suivante ?

En fait, comment fonctionne la décomposition de Gauss quand on n'utilise pas la base canonique ?


Merci !

[zygomatique]

Bonjour à tous !

J'étudiais la méthode de décomposition de Gauss pour les formes quadratiques, et je me suis heurtée à une petite incompréhension :

Pour mieux comprendre, j'ai utilisé un exemple concret. Je me suis donc placée dans un evn de dimension 3, et ai choisi comme forme quadratique (avec ) , et comme base , , .

Première chose : je sais que la matrice d'une forme quadratique est donnée par , où désigne la forme polaire de q.
On a aussi que
Or, on ne retrouve pas avec cette formule la formule que j'avais choisie pour q.

Je crois comprendre que j'avais, la première fois, exprimé q en fonction de la base canonique, alors que la formule avec la somme me donne q exprimé avec la base . D'accord.

Je continue mon exemple, et procède à la première étape de la décomposition (avec la formule de q exprimé dans la base ).

Si je ne me suis pas trompée, on arrive à avec , c'est-à-dire, toujours si je n'ai pas fait d'erreur,

Voilà mon problème :

A ce stade encore, la formule avec la somme, utilisée avec , ne me redonne pas le trouvé avec la décomposition. Est-ce que cela signifie que le de la décomposition est lui aussi exprimé dans la base canonique, bien que je sois partie d'un q exprimé dans la base ? Faut-il lui aussi le réexprimer, avant de passer à l'étape suivante ?

En fait, comment fonctionne la décomposition de Gauss quand on n'utilise pas la base canonique ?


Merci !

salut



....

[fatal_error]

salut,

ca dépend quel est l'espace de départ de ton q :lol3:
si l'espace de base, c'est l'espace muni de la base canonique, alors faut que tu prennes ton et que tu l'exprimes dans la base canonique.
Donc avec tes v1...
on a la matrice de passage P

et avec exprimé dans la base canonique.

Par exemple avec on a et donc


une autre manière de voir c'est matriciellement

avec x dans la base canonique donc.
donc si tu veux donner un x de ta base (v_1,v_2,v3) t'écris


et là du coup, en posant , tu t'es fait un second q :zen: , qui a pour espace de départ un vecteur dans .
Tu peux vérifier que

et

[744]

Salut, merci pour cette réponse !

En fait, c'est l'inverse que je voudrais faire : comprendre comment ça marche quand on n'utilise pas la base canonique, c'est pourquoi j'avais choisi ces .

Pour trouver mon nouveau q, je suis donc passée par la formule , où les . Jusque là je suis d'accord.

C'est après que j'ai plus de mal :

En procédant à la décomposition de Gauss (comme décrite dans le poly d'algèbre de Skandalis, ou bien encore sur wikipedia http://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9duction_de_Gauss), on arrive à cette formule :

On pose alors , qui ne fait plus intervenir , et on réitère le procédé.

Ma question est la suivante : dans quelle base est écrite ce ?

Il m'aurait paru logique qu'il soit écrit dans la base puisqu'il a été construit à partir de q écrit dans cette base, mais, sauf erreur de calcul de ma part, ce nouveau n'est pas égal à .
Mais alors est-il écrit dans la base canonique ?
Faut-il à nouveau le convertir avant de réitérer le procédé ?

[alegaxandra]

La méthode de Gauss se réitère en sa base : http://bibmath.net/dico/index.php?action=affiche&quoi=./g/gaussdecompo.html