Matrice

[Raven]

Bonjour,

J'ai une démonstration à faire mais je ne sais pas comment commencer...

Voici l'énoncé :

X est une matrice de réels de dimensions n x (p+1).

On a deux propriétés de X :
X est de rang p+1 & X^TX est inversible

Il faut montrer qu'elles veulent dire la même chose (équivalentes)...

Pouvez vous m'aider
merci.

[Maxmau]

Bonjour,

J'ai une démonstration à faire mais je ne sais pas comment commencer...

Voici l'énoncé :

X est une matrice de réels de dimensions n x (p+1).

On a deux propriétés de X :
X est de rang p+1 & X^TX est inversible

Il faut montrer qu'elles veulent dire la même chose (équivalentes)...

Pouvez vous m'aider
merci.

bonjour
je note X* la transposée de X
qq suggestions:
X*X est symétrique positive
Montre qu'elle est définie positive ss kerX est nul

[Raven]

comment sait-on que x*x est symétrique positive ?
Enfin je veux dire on doit le supposer?
Comment calculer le kerX ?
Il faut un rapport avec le rang , quel est le rang ici , je comprend pas comment le définir ?

[Maxmau]

comment sait-on que x*x est symétrique positive ?
Enfin je veux dire on doit le supposer?
Comment calculer le kerX ?
Il faut un rapport avec le rang , quel est le rang ici , je comprend pas comment le définir ?

X*X est carrée, symétrique ((X*X)* = X*X), positive car si V est un vecteur colonne on a:
V*(X*X)V = V*X*XV = (XV)*(XV) = || XV ||² ( ||...|| étant la norme euclidienne)
Cela entraine que toutes les valeurs propres de cette matrice sont réelles positives ou nulles.

Cette matrice sera inversible ss toutes les vp sont strictement positives, ce qui revient à dire qu'elle est définie positive.
l'égalité V*(X*X)V = || XV ||² montre que X*X est définie positive ss kerX est nul

Utilise le th du rang (sur X) pour terminer.

[Raven]

V* c'est V transposée également ?
Avec le théorème du rang on a donc rang F=dimkerf=dim E
donc comme ker X=0 , rang (X)=dim(X)= p+1?

Je ne comprend pas quand vous dites que X*X est carrée ?

[Maxmau]

V* c'est V transposée également ?
Avec le théorème du rang on a donc rang F=dimkerf=dim E
donc comme ker X=0 , rang (X)=dim(X)= p+1?

Je ne comprend pas quand vous dites que X*X est carrée ?

V* est effectivement la transposée de V
X*X a même nombre de lignes et de colonnes

le th du rang appliqué à X donne: dimkerX + rang de X = nb de colonnes de X = p+1

On peut simplifier ce que je dis ds mon précédent message de la façon suivante (mêmes notations):

X*XV =0 entraine V*X*XV= ||XV||² =0 d'où XV = 0
récipr XV = 0 entraine X*XV =0
conc: ker(X*X) = kerX
X*X est inversible ss ce noyau est réduit à zéro
tu conclus avec le th du rang

[Raven]

d'accord , merci beaucoup !