Exercice valeurs intermédiaires

[coucou23]

Bonjour à tous, je suis en terminale S et cela fait plusieurs exercices que je n'arrive pas à faire et même en regardant la leçon je n'y arrive pas vu que je ne comprend pas. Donc voila je vous demande de l'aide pour cette exercice et j'espère ainsi comprendre et donc réussir tous les autres exercices.

Soit la fonction f définie sur l'intervalle [-2 ; 2 ] par : f(x) = 77x^3 - 116 x² - 17x + 56. Déterminer le nombre de solutions de l'équation f(x) = 0 puis un encadrement à 10-2 près de chacune d'elles.

Merci d'avance

[mathelot]

bonjour,

on peut écrire:

calcul de f'
signe de f'
tableau de variation de f

essayer de voir à peu près pour quelles valeurs de x
f(x) s'annule.

après, si tu sais que f s'annule entre a et b disons,
on fait un programme pour afficher f(x) avec x=a+k/100(b-a) (k=0...100)
pour voir quand f(x) change de signe.

[fatal_error]

salut,

tu peux commencer par faire l'étude de f, variations, tableau de signe etc

[coucou23]

Donc j'ai trouvé que f'(x) = 231x² - 231x -17 donc après avec ;)= 69532 je trouve 2 racines qui sont : (232-;)69532)/262 et (232+;)69532)/262 donc ensuite j'ai fait le tableau de signes de f'(x) donc f'(x) positive de ]-infini ; (232-;)69532)/262 ] puis négative de [(232-;)69532)/262 ; (232+;)69532)/262 ] puis positive de [ (232+;)69532)/262 ; + infini [
Et donc ainsi je fais le tableau de variation de f(x) donc f(x) est croissante de ]-infini ; f((232-;)69532)/262) ] puis décroissante de [f((232-;)69532)/262) ; f((232+;)69532)/262) ] puis croissante de [ f((232+;)69532)/262) ; + infini [
Avec la calculatrice j'ai vu que f(x) s'annule pour x;)-0,637 x;)1 et x;)1,142
Mais après je ne vois pas quoi faire .

PS : Merci beaucoup de m'aider a vous deux

[fatal_error]

salut,

alors

Avec la calculatrice j'ai vu que f(x) s'annule pour x;)-0,637 x;)1 et x;)1,142

l'énoncé te dit de donner le nombre de solution... (qui par définition sont dans [-2;2] (car l'énoncé definit f dans [-2;2]))
les deux solutions que tu trouves sont bien dans cet interval. Donc tu as à priori deux solutions.

Maintenant pour le justifier autrement qu'avec ta calculatrice,
il faut que tu utilises le fait que f est continue et que si f(a) est positif et f(b) négative alors ya un c entre a et b ou f vaut 0.

Typiquement dans ton tableau de variation de f, tu regardes que vaut f(x) pour f'(x)==0, t'as donc pleins de minimum/maximum,
et si ca change de signe de l'un à l'autre, alors t'as un x tq f(x)=0, et tu les comptes et tu regardes s'ils sont bien dans [-2;2]

[coucou23]

Bonjour,

J'ai fait une erreur c'est pas 262 mais 462.
Par contre pour la suite je pense et j'espère avoir compris.
Donc :
-2 < (232-;)69532)/462 or f est croissante sur l'intervalle [-2 ; (232-;)69532)/462 ]
donc f(-2) < f((232-;)69532)/462)
or f(-2) < 0 et f((232-;)69532)/462)>0 et f est continue sur l'intervalle
[-2 ; (232-;)69532)/462 ]
D'après le théorème des valeurs intermédiaires il existe un réel alpha dans cet intervalle tel que f(x)=0

Ensuite :
(232-;)69532)/462 < (232+;)69532)/462 or f est décroissante sur l'intervalle [(232-;)69532)/462 ; (232+;)69532)/462 ]
donc f((232-;)69532)/462) > f((232+;)69532)/462)
or f((232-;)69532)/462) > 0 et f((232+;)69532)/462)<0 et f est continue sur l'intervalle
[(232-;)69532)/462 ; (232+;)69532)/462 ]
D'après le théorème des valeurs intermédiaires il existe un réel beta dans cet intervalle tel que f(x)=0
Et enfin :
(232+;)69532)/462 < 2 or f est croissante sur l'intervalle [(232+;)69532)/462 ; 2 ]
donc f((232+;)69532)/462) < f(2)
or f((232+;)69532)/462) < 0 et f(2)> 0 et f est continue sur l'intervalle
[(232+;)69532)/462 ; 2 ]
D'après le théorème des valeurs intermédiaires il existe un réel c dans cet intervalle tel que f(x)=0
Ainsi f(x) =0 admet 3 solutions sur l'intervalle [-2;2]
D'après la calculatrice on a f(x) = 0 lorsque
alpha environ égal à -0.64
beta égal à 1
c environ égal à 1.14

Voila j’espère que c'est juste car cela voudrait dire que j'ai compris.

Merci de votre aide.

[fatal_error]

excellent!

voici un lien qui pourra éventuellement t'être utile pour la suite pour vérifier tes calculs
[url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=77x^3+-+116+x^2+-+17x+%2B+56]wolframalpha[/url]

pour moi la rédaction est ok, j'ai pas vérifié les valeurs, mais ca a l'air good, évidemment avec un tableau de variations, c'est plus lisible, mais ca marche aussi à l'écrit..

[coucou23]

Merci beaucoup !