DM Terminale S Récurrence.. :s

[Majeste]

Salut a tous,
Voici les exercices que je dois faire, mais.. j'ai du mal
Ex 1: Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, le nombre (n(n²+5) est un multiple de 3.

Donc je fait apparaitre la proposition : P(n) "n(n²+5)=3k est vraie"
J'initialise, Pour n=1; 1(1²+5)=3k
6=3k Vraie.

Hérédité : blablalbla je rédige Montrons alors que : "N+1((N+1)²+5)=3K est vraie"
Et la bah... Je bloque :s Je me doute qu'il faut factoriser, mais je n'arrive jamais a le faire :s :help:

Ex 2: Soit x un réel différent de 1.
Démontrez par récurrence que pour tout entier naturel n, (Dans la fraction, c'est X^n+1 et pas X^n +1 )
Et la je n'arrive pas a démarrer ^^ :hum:

Merci d'avance pour votre aide !

[Tiruxa]

Bonjour,

Dans le 1 la récurrence ne me semble pas utile.

On a n qui est de la forme 3k ou (3k+1) ou (3k+2) avec k dans N.

S'il s'écrit 3k c'est terminé

S'il s'écrit (3k+1) alors n²+5=9k²+6k+6=3(3k²+2k+2) c'est donc divisible par 3

Même chose s'il s'écrit (3k+2)

Remarque : si tu as vu les congruences on peut rédiger plus proprement en les utilisant.

[Tiruxa]

On peut aussi par récurrence

Ton Hyp de récurrence s'écrit : n^3+5n =3k

et (n+1)[(n+1)²+5]=n^3+3n²+8n+6=n^3+3n²+5n+3n+6=3k+3(n²+n+2)=3(k+n²+n+2)

ce qui permet de conclure

[Majeste]

Merci a toi, mais pour la récurrence, je ne suis pas obligé de partir de l'HR pour faire mes calculs? :s

[Tiruxa]

Merci a toi, mais pour la récurrence, je ne suis pas obligé de partir de l'HR pour faire mes calculs? :s

Non tu dois démontrer la propriété P(n+1) en te servant de l'hypothèse P(n).

Ensuite les méthodes de démonstrations peuvent varier d'un exercice à l'autre.

[Majeste]

D'accord, merci :)

[Majeste]

Heuu.. Après réflexion je ne vois pas en quoi sa me permet de conclure :s

[Tiruxa]

Non tu dois démontrer la propriété P(n+1) en te servant de l'hypothèse P(n).

Ensuite les méthodes de démonstrations peuvent varier d'un exercice à l'autre.

Pour l'exo 2:



Je te laisse continuer

[Tiruxa]

Heuu.. Après réflexion je ne vois pas en quoi sa me permet de conclure :s

C'est de la forme 3k' avec k' dans N car k' = k+n²+n+2

[paquito]

Tu peux aussi développer en faisant apparaître ; ça donne :


tu as le choix!

[Majeste]

Merci paquito mais c'est pareil je ne vois pas ce que je dois dire ou plutot ce a quoi correspond le résultat que j'obtiens a la fin :-(

[Majeste]

Je ne comprend pas ce que je dois obtenir pourquoi avec la récurrence ce que j'obtiens valide la proposition :s ? J'ai vraiment besoin d'aide svp.. :)

[paquito]

Ton hypothèse de récurrence, c'est , donc au rang , tu obtiens : ; c'est bien un multiple de , donc la propriété est bien héréditaire; tu n'as plus qu'à faire une phrase de conclusion....