[MPSI] Nombres complexes & Euler

[max]

Bonjour,

Je dois montrer que

C = cos(pi/11) + cos(3pi/11) + cos(5pi/11) + cos(7pi/11) = 1/2
(càd la somme de k=0 à k=4 de cos( (pi + k2pi) /2) )
et que
S = sin(pi/11) + sin(3pi/11) + sin(5pi/11) + sin(7pi/11) = (sin²(5pi/11)) / (sin (pi/11))
(càd la somme de k=0 à k=4 de sin( (pi + k2pi) /2) )

Pour cela j'ai donc calculé la somme T = C + iS, et j'arrive à exp(ipi/11)^2k+1

J'y reconnais donc une suite géométrique de premier terme e^i(pi/11) et de raison e^(ipi/11).

J'applique donc la formule de la somme géométrique :

T = u0 * ( (1-q^n+1) / (1-q) )

Mais je n'arrive pas à résoudre plus loin, le calcul étant insimplifiable..

Merci

[abcd22]

Bonsoir !
La raison de ta suite est . On obtient donc . Pour simplifier quelque chose de cette forme, on écrit , même chose en bas, on obtient et avec les formules d'Euler on trouve , il reste à calculer les parties réelle et imaginaire.
Il faut retenir la méthode de simplification car elle sert souvent, par exemple pour retrouver les formules du style « un truc qu'on oublie tout le temps », on écrit , on prend la partie réelle et on retrouve la formule.

[max]

Bonsoir et merci beaucoup

J'ai compris la méthode, néanmoins je ne vois pas comment tu trouves la raison de la suite, j'avais trouvé exp(ipi/11)^2k+1, c'est faux ? Ou exp(ipi/11)^2k+1 = exp(i2pi/11)^k+1 ? Pourquoi?

Merci )

[abcd22]

Bonsoir et merci beaucoup

De rien !

J'ai compris la méthode, néanmoins je ne vois pas comment tu trouves la raison de la suite, j'avais trouvé exp(ipi/11)^2k+1, c'est faux ? Ou exp(ipi/11)^2k+1 = exp(i2pi/11)^k+1 ? Pourquoi?

Comme il y a un 2k + 1 en exposant, à chaque fois que k augmente de 1, on fait une multiplication par , et pas par .
exp(ipi/11)^(2k+1) = exp(i2pi/11)^k x exp(ipi/11), attention !

[max]

Merci beaucoup, j'ai compris hier soir mon erreur grâce à toi.

J'avais en fait zappé le exp(ipi/11)^(2k+1) = exp(i2pi/11)^k x exp(ipi/11), et j'avais donc prit pour raison exp(ipi/11) au lieu de exp(2ipi/11), ce qui donc faussait tous mes calculs et m'empêchait de simplifier l'écriture (je me retrouvais avec des pi/22 ...).

:++: :++:

[Nicolas_75]

Bonjour,

Ai-je la berlue ?
L'énoncé me semble... faux.
J'aurais plutôt dit :


Pour le montrer, une solution alternative à l'arme atomique des complexes est la mobilisation des formules de trigonométrie de base.



De même :


Sauf erreur.

Nicolas

[alben]

Bonjour,
Ai-je la berlue ?
L'énoncé me semble... faux.
Nicolas

Bonjour,

Tu as parfaitement raison mais il devient exact si l'on va jusqu'à 9pi/11 au lieu de 7...

[abcd22]

Ah oui, le calcul que j'ai fait correspond à k variant de 0 à 4 donc jusqu'à 9pi/11, je n'avais pas fait attention.