Formes quadratiques et groupe linéaire

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Bonjour à tous !

Je suis en train de préparer la leçon 106 pour l'agrégation, intitulée "Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie, sous-groupes de GL(E), applications", et mon professeur m'a demandé d'y ajouter une partie Décompositions, comprenant la décomposition d'Iwasawa, et celle de Gauss.

Ma question va sans doute paraître néophyte, mais je ne comprends pas le rapport entre le groupe linéaire et la décomposition de Gauss, qui consiste, si je ne dis pas de bêtises, à écrire sous une autre forme, une forme quadratique. Mais une forme quadratique n'appartient pas nécessairement à GL(E), si ? Elle est associée à une forme certes bilinéaire, mais rien ne dit qu'elle est bijective, je crois ?

Merci pour votre aide :hein:

[jlb]

Tu réduis ta forme quadratique en effectuant un changement de base!!

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Oui, c'est ce que l'on m'a expliqué ici : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?6,990509

Mais ceci me semble assez éloigné du sujet de la leçon, "groupe linéaire", non ? Il m'a dit d'en parler dans un paragraphe intitulé "décompositions de Gln(k)", mais il ne s'agit pas ici à proprement parlé d'une décomposition de GLn, mais plutôt d'une forme quadratique ?

[jlb]

Je verrai cela comme une application du groupe linéaire à la classification des formes quadratiques: tu fais opérer le groupe linéaire à droite sur l'ensemble des matrices carrées symétriques par l'opération A*P=tPAP.
il s'agit alors d'étudier les orbites.
Tout cela est à vérifier, je ne suis pas vraiment compétent. Bon courage.

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D'accord, merci en tout cas pour cette réponse ! ;)