Equa diffusion un peu opaque

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ortollj
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equa diffusion un peu opaque

par ortollj » 07 Sep 2014, 17:56

Bonjour

Session 87: Diffusion Equation
je ne comprends pas l'equation a la 36em minute de la video.
a gauche il y a une derivée partielle par rapport au temps et a droite une somme de derivées secondes partielles par rapport aux trois coordonnées spatiales ?
comment la facon dont le fluide se disperse dans l'espace donne une information sur la vitesse de sa variation dans l'espace ? :doh:
il me semble qu'une meme fonction de dispersion dans l'espace peut se faire a differentes vitesses ?
u=f(x,y,z,t)= concentration du fluide dans l'espace en fonction du temps.
si j'avais su j'aurais pas venu.



Skullkid
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par Skullkid » 07 Sep 2014, 20:43

Bonjour, dans le cas 1D et en faisant fi des coefficients, l'équation de diffusion est . Autrement dit, la variation de la concentration en un point donné dans le temps correspond à la courbure du profil de concentration en ce point. Si le profil est convexe (en forme de puits), la concentration augmente (le puits se remplit); si le profil est concave (en forme de bosse), la concentration diminue (la bosse s'étale et s'aplatit).

Ça correspond bien à l'idée naturelle de diffusion : s'il y a une inhomogénéité à un moment, les composants diffusent des zones de haute concentration vers les zones de basse concentration.

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ortollj
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par ortollj » 07 Sep 2014, 21:05

Skullkid a écrit:Bonjour, dans le cas 1D et en faisant fi des coefficients, l'équation de diffusion est . Autrement dit, la variation de la concentration en un point donné dans le temps correspond à la courbure du profil de concentration en ce point. Si le profil est convexe (en forme de puits), la concentration augmente (le puits se remplit); si le profil est concave (en forme de bosse), la concentration diminue (la bosse s'étale et s'aplatit).

Ça correspond bien à l'idée naturelle de diffusion : s'il y a une inhomogénéité à un moment, les composants diffusent des zones de haute concentration vers les zones de basse concentration.

effectivement , en raisonnant a partir d'une dimension, cela semble evident. :bad:
il n'y a plus qu'a etendre le raisonnement dans les deux autres dimensions.
bon je reprendrais tout ca demain soir. :dodo:
si j'avais su j'aurais pas venu.

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ortollj
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par ortollj » 07 Sep 2014, 21:25

ortollj a écrit:effectivement , en raisonnant a partir d'une dimension, cela semble evident. :bad:
il n'y a plus qu'a etendre le raisonnement dans les deux autres dimensions.
bon je reprendrais tout ca demain soir. :dodo:

en fait, c'est pas si evident que ca, meme en une dimension, je trouve que c'est une equation pas facile a comprendre :hum: , peut etre apres une bonne nuit de sommeil. :marteau:
si j'avais su j'aurais pas venu.

Mathusalem
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par Mathusalem » 08 Sep 2014, 09:55

Je l'observe tous les jours quand je monte dans le train.

u, la densité de gens (#personnes au metre carré, pour fixer les idées).

Tous les sièges sont vides, donc dans l'espace du wagon, il y a des zones de densité nulle (les sièges) et la fonction de densité de personnes (qu'on veut bien faire un effort et imaginer continue) a des maxima locaux là où les gens se trouvent entassés.

Les gens tendent à spontanément équilibrer la fonction de densité dans le wagon. Là ou il y a beaucoup de gens entassés, les gens vont se bouger vers les zones vides (sièges) pour ne pas être entassés, mais ils vont pas spontanément aller là, où il y a déjà 3 personnes d'assises sur les sièges à 4, ils vont aller là où il n'y a personne, ou moins de personnes.

Donc, l'équation décrit ce qui se passe phénoménologiquement lorsque l'on a des zones à densité [de matière, energie, molarité, etc..] variables, sans pour autant toucher au mécanisme sous-jascent qui fait que ce réquilibrage des densités a lieu.


en fait, c'est pas si evident que ca, meme en une dimension, je trouve que c'est une equation pas facile a comprendre , peut etre apres une bonne nuit de sommeil.


En rebondissant sur ma dernière phrase, j'ai l'impression que tu veux comprendre intuitivement ce qu'il se passe. Dans le cas du wagon, le mécanisme sous-jascent du rééquilibrage est assez clair : les gens veulent minimiser leur désagrément - être collés aux autres gens. Sauf qu'il faut traduire cela en langage physique, et intuitivement l'équation de diffusion peut se ramener à un principe de maximisation de l'entropie qui constitue la deuxième loi de la thermodynamique. Il y a plus de microétats équivalents lorsque la matière est uniformément distribuée que lorsqu'elle est ammassée, donc ton système va, de manière thermodynamique, tendre vers cet état.

Vu que c'était qu'une intuition, j'ai fait une recherche rapide sur google, et on peut effectivement dériver l'équation de diffusion (un truc qui y ressemble très fort) en partant du principe de maximum d'entropie.

Je comprends que cela peut ne pas paraître satisfaisant : Pourquoi la fonction de densité tend à s'équilibrer dans l'espace ? -> Parce que le système maximise l'entropie - Mais, pourquoi le système maximise l'entropie ? -> ...

Ma conviction est que tu pourrais tout expliquer en prenant ton système de 10^23 particules qui intéragissent, écrire toutes les interactions entre ces particules, avoir ton système de 10^23 équations dynamiques couplées, et voir qu'en effet, là où il y'avait un ammas de particules, en avançant dans le temps, l'amas s'est défait et éparpillé dans l'espace. Sauf que ça, c'est pas possible de le calculer, et c'est pour cela que t'as besoin de descriptions macroscopiques de ton système (une fonction de densité, et pas 10^23 equations de Newton).


Tout ceci à prendre un peu avec des pincettes parce que c'est écrit sans le café matinal, mais j'espère que t'as l'impression d'avoir mieux compris qu'avant :)

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ortollj
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par ortollj » 08 Sep 2014, 18:49

Merci Skulkid et Mathusalem.
imaginons un nuage de colorant dans de l'eau.
en fait j'ai l'impression que l'equation relie pour un point de l'espace donné la vitesse de diminution de la concentration dans le temps a la variation de la diminution de concentration dans les trois directions de l'espace.(et dans l'autre sens pour un point hors du nuage de colorant)
j' espere que je ne dis pas une betise ! :shock:
je me fais des nœuds au cerveau a essayer de la comprendre intuitivement ! :hum:
si j'avais su j'aurais pas venu.

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par Skullkid » 08 Sep 2014, 23:20

ortollj a écrit:en fait j'ai l'impression que l'equation relie pour un point de l'espace donné la vitesse de diminution de la concentration dans le temps a la variation de la diminution de concentration dans les trois directions de l'espace.(et dans l'autre sens pour un point hors du nuage de colorant)


Dit comme ça je trouve ça assez flou, les locutions à rallonge du genre "variation de la diminution de concentration" embrouillent pas mal... Je ne sais pas comment ils introduisent l'équation de diffusion dans ton cours, mais on peut la comprendre qualitativement en partant de deux principes phénoménologiques simples :

1 - Les molécules se déplacent globalement depuis les régions de haute concentration vers les zones de basse concentration.

2 - Plus la différence de concentration entre deux régions proches est élevée, plus vite les molécules vont se déplacer.

D'un point de vue microscopique, ça s'explique par les collisions entre molécules. Pour simplifier, imagine que toutes les molécules de ton liquide vont à la même vitesse du fait de l'agitation thermique. Chaque molécule a un mouvement rectiligne uniforme jusqu'à ce qu'elle rencontre une autre molécule. À ce moment-là, les deux molécules se rebondissent dessus comme des boules de billard, ce qui se traduit par un changement de direction aléatoire de leur vitesse. Dans les zones de haute densité, les molécules se rentrent souvent dedans et ont des trajectoires assez erratiques, alors que dans les zones de basse densité elles ont davantage tendance à bouger en ligne droite. Donc si une molécule se trouve à la frontière entre une région de haute densité et une région de basse densité, il y a une probabilité assez élevée qu'elle se fasse frapper par une autre molécule en provenance de la zone de haute densité, donc qu'elle se fasse éjecter vers la zone de basse densité. Plus l'écart de densité est grand, plus forte est cette probabilité, donc plus grand est le nombre de molécules qui vont se faire éjecter vers la zone de basse densité.

En admettant ces deux principes, on peut regarder ce qui se passe localement en 1D avec des profils de densité qui ont des courbures différentes :

- Si le profil est convexe (courbure positive), la pente (le gradient de densité) est plus forte du côté des hautes densités, donc il y a plus de molécules qui arrivent du côté dense que de molécules qui s'en vont vers le côté ténu : localement, la concentration augmente.

- Si le profil est concave (courbure négative), la pente est plus forte du côté des basses densités, donc il y a plus de molécules qui s'en vont vers le côté ténu que de molécules qui arrivent du côté dense : localement, la concentration diminue.

- Si le profil a une courbure nulle (en 1D ça correspond à une fonction affine), il y a autant de molécules qui arrivent du côté dense que de molécules qui s'en vont vers le côté ténu : localement, la concentration ne change pas.

Si tu veux un truc plus quantitatif, les deux principes du départ correspondent à la loi de Fick avec n la concentration, v la vitesse globale du fluide et D un coefficient de proportionnalité qui va bien. En combinant ça avec une équation de continuité , qui ne dit rien d'autre que "si je me fixe un petit cube dans l'espace, les molécules qui disparaissent du cube ont forcément traversé les faces du cube", tu obtiens l'équation de diffusion.

 

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