zygomatique a écrit:un peu de sérieux !!!!
les fonctions x --> rx et x --> cos(x) sont continues sur R donc leur composée aussi ...
En effet, je me suis trompé dans l'énoncé, la bonne fonction serait plutôt:
Cependant, je n'ai fait que traduire la question sous la forme d'une fonction, donc je ne pense pas qu'elle porte à confusion si on a lu le premier post..
Skullkid a écrit:Bonsoir, je ne comprends pas en quoi le post de Wataru permet de répondre à la question. Je suggérerais plutôt de regarder du côté des polynômes de Tchebychev et du fait que le corps des algébriques est algébriquement clos. Pour un raisonnement compréhensible niveau lycée (ou "lycée plus") il te faudra admettre cette seconde propriété. Pour ce qui est des polynômes de Tchebychev tu devrais pouvoir démontrer tout ce dont tu as besoin, mais c'est quand même assez costaud.
Peux-tu nous exposer le raisonnement dont tu parles dans ton premier post ?
Je n'utilise aucune formule qui sorte du programme de terminale (2010-2011). Mon résultat me semble simple à trouver, et pourtant je ne trouve pas de résultats semblables sur le net, ce qui me laisse penser qu'il est faux..
Je le met ci dessous:
[CENTER]___________________________________[/CENTER]
Par soucie d'écriture en Latex, j'écrirai
la partie décimale de x.
Remarque préliminaire: Soit f, une fonction de N dans lui-même et n un entier strictement positif. On pose:
Démontrons que
Pour cela, décomposons cette somme en deux somme: une dont la variable discrète est paire et l'autre dont la variable est impaire. Cela revient donc à calculer tous les entiers positifs k et k' tels que
et
. On en déduit que
et
.
Considérons le cas où n est pair, il existe donc un entier n' tel que
.
D'où
et
. k' étant entier, on en déduit que
.
Donc
lorsque n est pair.
Considérons maintenant le cas où n est impair, il existe alors un entier n' tel que
, d'où
et
. Puisque k est entier, on en déduit que
. On a donc:
On observe alors que si n est pair,
et
De même, si n est impair,
et
. On observe alors que pour tout n, on a
et
.
La formule (1) est donc démontrée.
Soit s, un nombre complexe de module 1 et d'argument
. On a donc, d'après la formule de Moivre, pour tout entier naturel non nul n,
. D'où:
n étant un entier positif, on peut appliquer la formule du binôme de Newton, on a donc:
D'après la remarque préliminaire, on peut décomposer la série de droite de la façon suivante:
On en déduit finalement que pour tout entier naturel non nul n et pour tout réel
qui n'est pas de la forme
(où k est un entier), on a
Puisque ces deux fonctions sont continues pour tout réel
, on en déduit que
et que
.
Pour pouvoir définir cette formule pour tout réel
, y compris ceux du type
où k est un entier, on l'écrit de la façon suivante:
Cette formule marche pour les formules de duplication de lycée (c'est la cas où n=2), mais j'aimerais être sûr qu'il ne se glisse pas une erreur de raisonnement..!
C'est comme ça que j'ai voulu chercher une propriété qui puisse montrer qu'elle est fausse.
C'est ainsi que j'en ai déduit ça. Voilà comment j'ai raisonné:
Reprenons la formule de duplication du cosinus en remplaçant
par
, où n est un entier strictement positif. On a alors:
En posant
, on obtient l'équation suivante:
D'où:
Puisque
et que
, on en déduit que
. Puisque tous les exposants sont des nombres entiers positifs, on en déduit que l'équation ci-dessus est une équation polynomiale. De même, puisque toute puissance de
est entière et puisque tous les coefficients binomiaux sont des entiers positifs, alors tous les coefficients de l'équation sont des entiers relatifs.
Donc
est solution d'une équation polynomiale à coefficients entiers relatifs et est donc algébrique.
Posons maintenant
. On sait que cette fonction est un polynôme à coefficients entiers relatifs. Donc toute image par
d'un nombre transcendant est aussi transcendante. Par contraposée, toute image d'un nombre algébrique est algébrique.
Donc, pour tout entier m, on sait que
est algébrique puisque cos(\frac{\pi}{m}) l'est. Or, on a
. Or tout nombre rationnel r est de la forme
. On en déduit que pour tout nombre rationnel,
est algébrique.
chan79 a écrit:A partir de la n ième diagonale du triangle de Pascal, on peut obtenir un polynôme dont les racines sont 4 cos²(k*pi/n) (k variant de 1 au degré du polynôme)
Exemple
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
4 cos²(pi/7) est l'une des solutions de x³-5x²+6x-1
Je ne connaissais pas cette propriété du triangle de Pascal ! :ptdr:
Tu connaîtrais une démonstration de cette propriété s'il te plaît ?