Integrale de Lebesgue

[barbu23]

Bonjour MOHAMED_AIT_LH et merci de m'avoir répondu. :happy3:
Une couronne s'écrit sous forme de : ,avec , donc, c'est un borélien, donc, on peut lui appliquer la mesure . :happy3:
Merci. :happy3:

[lapras]

C'est pas du jeu : tu utilises le fait que la mesure de la couronne c'est son aire. Si on part des premiers principes, c'est pas plus facile que de montrer que la mesure du cercle c'est 0.

[barbu23]

Non, moi j'ai noté au début : . :happy3:
Il suffit de remplacer par .

[lapras]

Je ne comprends pas ce que tu veux dire.
Tout ce que je veux dire, c'est que montrer que la mesure du cercle est zéro en utilisant la mesure d'une couronne, c'est comme montrer qu'il y a une infinité de nombres premiers en utilisant le fait que la somme des inverses des nombres premiers diverge.

[adrien69]

c'est comme montrer qu'il y a une infinité de nombres premiers en utilisant le fait que la somme des inverses des nombres premiers diverge.

C'est faisable sans se mordre la queue ça ?

[mrif]

Bonjour à tous, :happy3:

Comment calculer l’intégrale de Lebesgue suivante :
avec : ?

Merci d'avance. :happy3:

As-tu essayé d'appliquer Fubini-Lebesgue à la fonction indicatrice du cercle unité?

1) On montre que cette application est integrable, pour cela il suffit de remarquer qu'elle est positive et inférieurs à la fonction indicatrice du carré unitaire.

2) Appliquer Fubini et on se ramène à R: l'intégrale la plus profonde porte sur un domaine constitué de 2 points donc elle est nulle et l'intégrale d'une fonction nulle est nulle.

[lapras]

C'est faisable sans se mordre la queue ça ?

Oui. Je crois qu'Erdos a donné une démonstration purement élémentaire, qu'on peut trouver dans "Raisonnements divins".
Après il y a une démonstration classique utilisant la divergence en s=1 de la fonction zeta de Riemann.