Integrale de Lebesgue

[barbu23]

Bonjour à tous, :happy3:

Comment calculer l’intégrale de Lebesgue suivante :
avec : ?

Merci d'avance. :happy3:

[lapras]

Qu'est ce que t'appelles ? Si tu veux dire que tu intègres sur le cercle la mesure de Lebesgue de R^2, alors bien sûr la réponse est 0.

[cuati]

Bonjour à tous, :happy3:

Comment calculer l’intégrale de Lebesgue suivante :
avec : ?

Merci d'avance. :happy3:

Si j'ai bien compris, tu cherches à calculer la mesure de Lebesgue du cercle unité... bah 0 !

[barbu23]

Tu peux me montrer le calcul qui mène à ça ? :happy3:
Merci d'avance.

[barbu23]

Qu'est ce que t'appelles ? Si tu veux dire que tu intègres sur le cercle la mesure de Lebesgue de R^2, alors bien sûr la réponse est 0.

Comment le montrer svp ?

[barbu23]

:happy3:

[lapras]

Tu peux par exemple recouvrir le cercle avec des petits carrés dont la somme des aires tend vers 0.

[barbu23]

Je n'ai pas compris. :hum: :mur:

[lapras]

Il y a deux choses à savoir sur la mesure de Lebesgue : la mesure d'un rectangle est son aire, la mesure d'une réunion disjointe dénombrable de parties mesurables est la somme des mesure.
Donc on veut recouvrir le cercle par une partie dont on sait calculer la mesure (donc par une réunion disjointe de carré par exemples).

[barbu23]

Merci. :happy3:
Ta méthode me semble être un peu difficile à concrétiser. Comment peut -on paramétrer les pavés qui recouvrent les points du cercle ?
Moi, j'ai trouvé une autre méthode, mais, je ne sais pas si c'est correct ou non. :happy3:
On fait par exemple le changement de variables suivant :

Correct ?

[barbu23]

Bonsoir,

Une autre question, si vous me permettez :

Je cherche une mesure sur la tribu borélienne de de la forme : telle que : .
est la mesure de Lebesgue sur .

Merci d'avance.

[lapras]

Ton premier calcul (avec cos et sin) n'a pas de sens. Je ne comprends pas ta notation pour mu.

[adrien69]

Non mais sinon on dit que ton intégrale c'est la mesure d'un cercle, donc celle d'un cercle privé d'un point, ce qui est carrément difféomorphe à la droite réelle via la projection stéréographique, et que donc la mesure du cercle c'est la mesure image de la droite réelle par l'appli difféomorphique (ou son inverse je sais plus), et que cette mesure image étant subordonnée à celle de Lebesgue de R², on obtient la nullité puisque l'on sait que la mesure de Lebesgue dans R² de la droite réelle est nulle.
Y a peut-être une imprécision ou deux mais il est tard et demain j'ai un mariage.

[adrien69]

Bonsoir,

Une autre question, si vous me permettez :

Je cherche une mesure sur la tribu borélienne de de la forme : telle que : .
est la mesure de Lebesgue sur .

Merci d'avance.

Trafiquer l'inverse de l'application de Cantor (qui envoie en bijection le segment vers le carré) peut marcher. Mais je ne sais plus si elle est mesurable.

[lapras]

Comment tu montres que la mesure de la droite est nulle ? J'imagine par l'argument qui consiste à paver la droite par des rectangles dont la somme des aires vaut 0...
Je pense que ton argument est trop compliqué pour une chose fondamentale comme barbu23 demande.

[adrien69]

Nan en disant qu'elle est difféomorphe à un segment fini ouvert ;)
Et pour le segment, j'utilise la définition. ;)
Je chipote, mais tu as raison.

[barbu23]

Comment tu montres que la mesure de la droite est nulle ? J'imagine par l'argument qui consiste à paver la droite par des rectangles dont la somme des aires vaut 0...
Je pense que ton argument est trop compliqué pour une chose fondamentale comme barbu23 demande.

La mesure d'une droite dans est nulle parce que à mon avis :
et .
Combien vaut ?
Merci d'avance.

[barbu23]

Trafiquer l'inverse de l'application de Cantor (qui envoie en bijection le segment vers le carré) peut marcher. Mais je ne sais plus si elle est mesurable.

Je n'ai pas compris ce que tu dis. :hum: :mur:

[Doraki]

si tu traces un quadrillage de coté 1/n, le cercle unité est recouvert par 4*(2n-1) petits carrés (et même moins quand n est somme de deux carrés, mais passons),
donc la mesure du cercle est inférieure à 4*(2n-1)/n², qui peut être rendu aussi petit que tu veux en prenant n assez grand, donc la mesure du cercle est nulle.

[alm]

Si pour tout entier naturel non nul , on note le disque de centre et de rayon alors le cerle unité réalise avec où D est le disque unité fermé. Un dessin permet de voir que est une couronne.
Comme la famille est décroissante on a