Convergence d'une simple série.
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Mikihisa
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par Mikihisa » 10 Aoû 2014, 14:53
Bonjour ! Je doit étudier la convergence de la série suivante, suivant les valeur es de a dans ]0;+oo[
}))
Oe je sais elle fait peur mais en fait ça se simplifie très bien en prenant
J'ai démontrer dans les question précédente le critère de Raabe-Duahmel, ainsi que d'autres critère sur un+1/un mais je n'arrive pas a conclure cette série :/.
J'ai ici
}{ln(n+1+a)})
On peut se ramener a du n en faisant un/un-1 (vn=un-1) pour simplifier l'expression mais je ne vois toujours pas comment conclure :/ des idée ?
Cordialement
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deltab
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par deltab » 10 Aoû 2014, 17:49
Bonjour
Mikihisa a écrit:J'ai ici
As-tu vu le critère qui consiste non pas à comparer
et
mais les rapports
et
.
Il me semble que la série diverge pour tout
et même pour
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Razes
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par Razes » 10 Aoû 2014, 18:39
Tu as oublié des termes:
}{ln(n+1+a)}\frac{ln(n+a)}{ln(n)})
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Razes
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par Razes » 10 Aoû 2014, 18:51
Procéder par DL en utilisant
 = x-\frac{x^2}2+\frac{x^3}3-\cdots+(-1)^{(n-1)}\frac{x^{n}}n+o(x^{n}))
et
=\ln (n)+\ln (1+\frac{b}{n}))
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Mikihisa
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par Mikihisa » 10 Aoû 2014, 19:10
Le terme dont tu parles n'est pas annuler vu qu'il apparaît dans les 2 produit ?
Sinon oui j'était parti sur ce dl la mais j'arrivais pas a conclure :/ après j'ai pris le dl a l'ordre 2 peut être faut-il le prendre a l'ordre n jvais voir, mais tu es sur que j'ai oublier des terme ??
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deltab
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par deltab » 12 Aoû 2014, 18:00
@ Mikihisa
Juste avoir une idée, la nature de la série pour
.
Maintenant grâce à un logiciel de tracé de courbes, j'ai pu voir que la fonction
}{\ln(x) \ln(x+2)})
tendait vers 1 en décroisant et en "déduire" que
où
et en conclure que
diverge.
Mais tout ceci n'est pas une démonstrationFais la même pour
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cuati
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par cuati » 13 Aoû 2014, 19:32
Bonsoir,
sauf erreur de ma part, en posant
\ln^a(n+1)u_n)
, on arrive à montrer (DL d'ordre 2) que
)
.
Donc la série de t.g.
)
converge.
Donc la suite
converge vers une limite non nulle
.
Donc
\ln^a(n+1)}\sim\frac{L}{n\ln^a(n)})
.
La série de t.g.
converge donc si et seulement si
(série de Bertrand).
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Mikihisa
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par Mikihisa » 14 Aoû 2014, 11:26
Oui c'est vraiment pas mal. Par contre je n'ai pas capter le passage a ln(vn/vn-1).
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deltab
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par deltab » 14 Aoû 2014, 12:44
Bonjour
Mikihisa a écrit:Oui c'est vraiment pas mal. Par contre je n'ai pas capter le passage a ln(vn/vn-1).
C'est juste l'équivalence au voisinage de
:
 \sim u.)
Ce que je n'ai compris c'est plutôt comment cuati a obtenu ce DL?
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cuati
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par cuati » 14 Aoû 2014, 14:13
Bonjour,
avec
, on a :
1)\left(\frac{\ln(n+1)}{\ln(n)}\right)^a\left(1-\frac{1}{n}\right)\frac{\ln(n)}{\ln(n+a)}=\boxed{ \left(1-\frac{1}{n^2}\right)\left(\frac{\ln(n+1)}{\ln(n)} \right)^a\frac{\ln(n)}{\ln(n+a)}})
J'utilise ensuite dans 2) et 3) les DL du type suivant pour avoir un développement des deux derniers facteurs de
:
=x-\frac{x^2}{2}+...)
et
:
2)}{\ln(n+a)}=\frac{1}{1+\frac{\ln(1+ \frac{a}{n} )}{\ln(n)}}=\frac{1}{1+ \frac{a}{n\ln(n)}- \frac{a^2}{2n^2\ln(n)}+o\left(\frac{1}{n^2\ln(n)} \right)}= 1-\frac{a}{n\ln(n)}+\frac{a^2}{2n^2\ln(n)}+o\left( \frac{1}{n^2\ln(n)} \right))
Ce n'est pas évident mais dans la dernière égalité, on pourrait croire que c'est en fait un
} \right))
mais si on pousse le DL à l'ordre 2 on se rend compte que le dernier terme est en
}=o\left( \frac{1}{n^2\ln(n)} \right))
Donc :
}{\ln(n+a)}=\boxed{1-\frac{a}{n\ln(n)}+o\left( \frac{1}{n^2} \right)})
puisque
}=o\left( \frac{1}{n^2} \right))
3) même méthode qu'au 2)Cette fois on utilise en plus un DL du type
^\alpha=1+\alpha x...)
}{\ln(n)} \right)^a=\left(1+\frac{\ln(1+ \frac{1}{n})}{\ln(n)} \right)^a=\left(1+ \frac{1}{n\ln(n)} -\frac{1}{2n^2\ln(n)}+o\left( \frac{1}{n^2\ln(n)}\right)\right)^a=\boxed{1+\frac{a}{n \ln(n) }+o\left( \frac{1}{n^2} \right)})
4) Finalement:
\left( 1+\frac{a}{n \ln(n) }+o\left( \frac{1}{n^2} \right) \right)\left( 1-\frac{a}{n\ln(n)}+o\left( \frac{1}{n^2} \right) \right)=\left(1-\frac{1}{n^2}\right)\left(1+o\left( \frac{1}{n^2} \right)\right)=\boxed{1-\frac{1}{n^2}+o\left( \frac{1}{n^2}\right)})
5) Voir mon premier post...
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deltab
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par deltab » 14 Aoû 2014, 14:29
@cuati
Merci des détails.
L'étape
1) n'était-elle pas suffisante pour conclure?
\left(\frac{\ln(n+1)}{\ln(n)} \right)^a\frac{\ln(n)}{\ln(n+a)}}\sim 1-\frac{1}{n^2}{)
Le facteur
}{\ln(n)} \right)^a \frac{\ln(n)}{\ln(n+a)})
tend bien vers 1 quand n tend vers
.
Il y a peut-être une erreur dans l'expression de
.
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cuati
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par cuati » 14 Aoû 2014, 16:30
D'accord avec ta première remarque, j'aurai pu conclure plus vite...
'deltab' a écrit:Il y a peut-être une erreur dans l'expression de
.
Peut être, je n'ai pas remarqué...
'deltab' a écrit:De plus quel est le lien entre le a en exposant dans
el le a qui figure
Tu as terminé ta phrase ?
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deltab
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par deltab » 14 Aoû 2014, 20:27
Bonjour.
cuati a écrit:D'accord avec ta première remarque, j'aurai pu conclure plus vite...
Peut être, je n'ai pas remarqué...
Tu as terminé ta phrase ?
J'ai voulu faire une remarque que j'ai laissé tomber et dont j'ai oublié de supprimer le début.
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cuati
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par cuati » 14 Aoû 2014, 21:05
deltab a écrit:Bonjour.
J'ai voulu faire une remarque que j'ai laissé tomber et dont j'ai oublié de supprimer le début.
OK,
je ne vois pas d'erreur dans l'expression de
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cuati
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par cuati » 15 Aoû 2014, 09:24
deltab a écrit:L'étape
1) n'était-elle pas suffisante pour conclure?
\left(\frac{\ln(n+1)}{\ln(n)} \right)^a\frac{\ln(n)}{\ln(n+a)}}\sim 1-\frac{1}{n^2})
Finalement non, cette étape n'est pas du tout suffisante pour conclure !
Ce n'est pas parce que deux suites sont équivalentes que leur log le sont aussi.
Contre-exemple :
mais
n'est pas équivalent à
. Il faut avoir un DL pour pouvoir prendre le log...
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Mikihisa
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par Mikihisa » 15 Aoû 2014, 12:27
deltab a écrit:Bonjour
C'est juste l'équivalence au voisinage de
:
Ce que je n'ai compris c'est plutôt comment cuati a obtenu ce DL?
Donc on aurait
 =_{\infty} ln(1-\frac{1}{n^2}+o(\frac{1}{n^2}))=_{\infty} -\frac{1}{n^2}+o(\frac{1}{n^2})+o(-\frac{1}{n^2}+o(\frac{1}{n^2})))
? Et
 = -\sum \frac{1}{n^2} + \sum o(\frac{1}{n^2}) = -\sum \frac{1}{n^2}+o(\frac{1}{n^2}))
qui converge
Pas: j'ai oublier des terme mais les sommes des o sont des o donc au final on a le résultat c'est bon j'ai piger ^^
J'avais juste pas penser a ton vn vraiment bien jouer !
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deltab
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par deltab » 15 Aoû 2014, 17:02
Bonjour.
cuati a écrit:Donc la série de t.g.
converge.
Donc la suite
converge vers une limite non nulle
.
La série de t.g.
converge donc
 \to 0)
et donc encore
et ça, on le sait déjà
)
et on n'a aucune raison de conclure que
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par cuati » 15 Aoû 2014, 17:21
deltab a écrit:Bonjour.
La série de t.g.
converge donc
et donc encore
et ça, on le sait déjà
et on n'a aucune raison de conclure que
Je te rappelle que la
série de t.g.
est télescopique ! Autrement dit :
=\ln(v_n)-\ln(v_1))
.
Dire que la série converge revient donc à dire que la suite
)
converge vers une limite
et que donc la suite
converge vers une limite
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deltab
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par deltab » 15 Aoû 2014, 18:47
cuati a écrit:Je te rappelle que la
série de t.g.
est télescopique ! Autrement dit :
.
Dire que la série converge revient donc à dire que la suite
converge vers une limite
et que donc la suite
converge vers une limite
Merci pour les précisions
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