Equation fonctionnelle a parametre

[Jul29]

Est-il possible de Trouver g non nul et a tels que ?

[fatal_error]

hello,

j'arrive à ca:
(g(x)+1/2)^2=g(ax)
h^2(x)=g(ax)+1/4
avec h(x)=g(x)+1/2
h^2(x)=g(ax)+1/2 -1/2+1/4
h^2(x)=h(ax) -1/4
h(ax)=h^2(x)+1/4

en particulier a==1 => g==0
pour a !=1 il reste à montrer que h existe
avec h(0)==1/2

Si x dans N, alors pour a==2, on peut générer h à l'aide de tous les nombres non multiples de 2
Si x dans R, j'ai envie de dire qu'on peut construire... mais je sais pas le démontrer

[Jul29]

En fait je pensais que a etait une inconnue. Si on prenais un cas plus simple sur R : g(x)^2=g(ax) on trouve g(x)=exp(kx) et a=2

[Doraki]

g(0) = g(0) + g(0)² donc g(0) = 0
On vérifie facilement que pour que g soit définie partout, il faut que g(x/a) = (-1+sqrt(1+4g(x)))/2.
(si on prend l'autre solution on a g(x/a) < -1/4, et après il ne peut pas y avoir de g(x/a²) correspondant)
Il faut aussi que g soit positive, parceque s'il y a une valeur négative, on en a d'autres encore plus négatives jusqu'à obtenir une valeur qui passe en-dessous de -1/4.

Donc g est uniquement déterminée par ses restrictions sur par exemple [1;a[ et ]-a;-1] et tu peux y prendre g absolument quelconque tant qu'elle est positive.