Formule de Taylor, différentiabilité, et fonctions homogènes

[Aristarque]

Il existe des fonctions admettant des développement de Taylor à l'ordre n, mais qui ne sont pas n fois différentiable.

Exemple:
f: R->R
x->x^3.sin(1/x)
admet un développement de Taylor à l'ordre 2 mais n'est pas deux fois différentiable.

Ma question est:

Peut-on tout de même dire quelque chose sur la différentiabilité d'une fonction simplement à partir du fait qu'elle admette un développement de Taylor à l'ordre n?

Par exemple, à défaut de pouvoir conclure qu'elle est n fois différentiable, peut-on au moins conclure qu'elle l'est (n-1) fois?

Je voudrais pouvoir me servir si possible de cela pour résoudre le problème:

Je m'intéresse à la différentiabilité d'une fonction continue et homogène d'ordre k:

f(l.x)=l^k . f(x)

On voit facilement qu'un telle fonction admet un développement de Taylor à l'ordre (k-1) dont tous les termes (sauf le reste) sont nuls. Ne puis-je pas en conclure quelque chose sur la différentiabilité de cette fonction?

[alegaxandra]

Pour que f admette un en sur intervalle défini en , f doit être continûment dérivable d'ordre sur ; d'où l'on obtient l'existence des différentes formules de Taylor. Ainsi, la partie régulière de est pour la formule de Taylor-Lagrange: de coefficient : avec le reste de Lagrange d'ordre . Le reste d'ordre a donc la même expression qu'un terme d'ordre de la partie régulière sauf que le coefficient n'est pas une constante dans la mesure où : dépend de . Tu as bien vu.