étude de fonction et lieu geometrique

[nour2013]

salut
j ai un problème au niveau de la question 1) a)comment justifier l existence et l unicité du point M


L’énoncé est le suivant:
Le plan est muni d’un repère orthonormé (o , i , j ) .
1. Pour tout x > 0, on désigne par P le point de (o , i ) d’abscisse x.
a. Montrer qu’il existe un unique point M d’ordonnée positive, tel que le triangle OPM
soit rectangle en P et d’aire égale à 1.
b. Sur quelle courbe varie le point M lorsque le point P varie ?
c. On désigne par g la fonction qui à x associe l’ordonnée de M. Donner l’expression de g.
d. Pour quelles valeurs de x, a-t-on 2 ;) g(x) ;) 10 ?
2. Pour tout x > 0, on désigne par N le point de coordonnées (0, g(x)).
Existe-t-il une valeur de x pour laquelle le périmètre du rectangle OPMN est égal à 2 ?

merci bien

[Carpate]

salut
j ai un exercice justifier l existence et l unicité du point M
comment

Pour tout x > 0, on désigne par P le point de (o , i ) d’abscisse x.
a. Montrer qu’il existe un unique point M d’ordonnée positive, tel que le triangle OPM
soit rectangle en P et d’aire égale à 1.
b. Sur quelle courbe varie le point M lorsque le point P varie ?
c. On désigne par g la fonction qui à x associe l’ordonnée de M. Donner l’expression de g.

merci bien

Exprime l'aire en fonction de OP et PM et écris qu'elle vaut 1
Qu'obtiens-tu pour PM = g(x) ?

[nour2013]

salut
PM = g(x)=2/x

merci

[Shew]

salut
PM = g(x)=2/x

merci

Pour la b: P est un point appartenant à l'axe des abscisses et a pour abscisse x . OP et PM sont perpendiculaires donc P et M ont le même abscisse, on en déduit l'ordonnée de M en fonction de PM .

[nour2013]

salut

a)comment justifier l existence et l unicité du point M

merci bien

[paquito]

Déjà, le point M n'est pas unique! Si tu considère le point I milieu de OP et D la verticale passant par I, le symétrique de M par rapport à D fournit une 2° solution, donc l'énoncé est faux!
Sinon le point M appartient au cercle de diamètre OP.

L'aire du rectangle vaut (1/2)YM*x donc Ym=2/x m est donc à l'intersection de C et de y=2/x, mais il y a une deuxième solution avec l'intersection de C et de y =2/(xp-x). Conclusion????

[Shew]

Déjà, le point M n'est pas unique! Si tu considère le point I milieu de OP et D la verticale passant par I, le symétrique de M par rapport à D fournit une 2° solution, donc l'énoncé est faux!
Sinon le point M appartient au cercle de diamètre OP.

L'aire du rectangle vaut (1/2)YM*x donc Ym=2/x m est donc à l'intersection de C et de y=2/x, mais il y a une deuxième solution avec l'intersection de C et de y =2/(xp-x). Conclusion????

On le constate déjà pour x = 2 et x = 4

[nour2013]

salut cher professeur
ce n est pas très claire si possible de m expliquer de plus la question 1) a)

L’énoncé est le suivant:
Le plan est muni d’un repère orthonormé (o , i , j ) .
1. Pour tout x > 0, on désigne par P le point de (o , i ) d’abscisse x.
a. Montrer qu’il existe un unique point M d’ordonnée positive, tel que le triangle OPM
soit rectangle en P et d’aire égale à 1.
b. Sur quelle courbe varie le point M lorsque le point P varie ?
c. On désigne par g la fonction qui à x associe l’ordonnée de M. Donner l’expression de g.
d. Pour quelles valeurs de x, a-t-on 2 ;) g(x) ;) 10 ?
2. Pour tout x > 0, on désigne par N le point de coordonnées (0, g(x)).
Existe-t-il une valeur de x pour laquelle le périmètre du rectangle OPMN est égal à 2 ?

merci bien

[Black Jack]

Déjà, le point M n'est pas unique! Si tu considère le point I milieu de OP et D la verticale passant par I, le symétrique de M par rapport à D fournit une 2° solution, donc l'énoncé est faux!
Sinon le point M appartient au cercle de diamètre OP.

L'aire du rectangle vaut (1/2)YM*x donc Ym=2/x m est donc à l'intersection de C et de y=2/x, mais il y a une deuxième solution avec l'intersection de C et de y =2/(xp-x). Conclusion????

Mais non paquito.

Le triangle OPM doit être rectangle en P et pas en M

On a donc P(x ; 0) et M(x ; 2/x) avec x > 0

Et l'aire du triangle = (1/2) * OP * MP = 1
*****
Lorsque P se meut sur l'axe Oi, M se meut sur une courbe représentant l'équation y = 2/x avec x > 0, soit une branche d'hyperbole.

...

:zen:

[paquito]

Salut, Black Jack,

Effectivement, j'avais mal lu; mais comme tu as donné la réponse, il ne devrait plus y avoir de problème!

[nour2013]

salut

comment justifier l existence et l unicité du point M ??
question 1 -a

merci

[paquito]

Le point M est l'intersection de la perpendiculaire à, qui passe par P et de l'hyperbole d équation y=2/x; donc il est unique et a pour coordonnées (x;2/x). il évolue donc sur cette hyperbole
Remarque (1/2)x.2/x=1.