Topologie

[barbu23]

Bonsoir à tous,

Pourquoi tout ensemble muni de la topologie grossière est un espace séparable ?.

Merci d'avance. :happy3:

[barbu23]

Parce que, , car : est fermé, non ?
Merci d'avance. :happy3:

[Trident]

Nan car E n'est pas forcément dénombrable. Si E est non vide, prenons l'ensemble X={x} avec x dans E. L'adhérence de X est un fermé donc c'est soit X ou le vide. C'est pas le vide car X est non vide donc adherence(X)=E donc X est dense dans E. Et il est fini donc au plus dénombrable.

[El_Gato]

Salut,

Parcequ'un espace est séparable quand, étant donné deux points x et y distincts de cet espace, tu peux trouver deux ouverts X et Y auxquels x et y appartiennent respectivement, et tels que .

Or dans le cas de la topologie discrète il suffit de prendre et qui sont ouverts par définition de la topologie discrète, et disjoints si .

Bonsoir à tous,

Pourquoi tout ensemble muni de la topologie grossière est un espace séparable ?.

Merci d'avance. :happy3:

[jlb]

Salut,

Parcequ'un espace est séparable quand, étant donné deux points x et y distincts de cet espace, tu peux trouver deux ouverts X et Y auxquels x et y appartiennent respectivement, et tels que .

Or dans le cas de la topologie discrète il suffit de prendre et qui sont ouverts par définition de la topologie discrète, et disjoints si .

euh, petite confusion séparé, séparable?

[Groucho]

Ne pas confondre
espaces séparés : étant donné 2 points (distincts), ils possèdent des voisinages disjoints et

espaces séparables ils possèdent un sous ensemble au plus dénombrable dense (dont l'adhérence est l'espace tout entier).

Si E est muni de la topologie grossière (et est non vide), l'adhérence d'un de ses points quelconque est l'espace tout entier et il est donc séparable.

Si E est vide, la question ne me paraît pas très intéressante, mais on peut dire aussi que l'ensemble vide est dense dans E.

[El_Gato]

Ah oui oups pardon, erreur de ma part.

euh, petite confusion séparé, séparable?