Intégration tan^(2n+2)

[Jpweaksend]

Bonjour,
Je suis un élève assez perdu en maths depuis le début de ma prépa c'est pourquoi je viens demander ici, je n'ose pas contacter mon prof pour chacune des difficultés que je rencontre, il y en a tellement...
L'exercice sur lequel je travaille est donc présenté comme ceci :
Pour tout entier n, on pose

et


A) calculer I0, puis montrer que (In) est convergente
B) montrer que quelque soit n dans N, In+In-1 = 1/(2n+1). En deduire la limite de In
C) montrer que quelque soit n dans N, (-1)^n * In - I0 = Sn -1 et en deduire que la limite pour n tendant vers l'infini de Sn

J'ai fait la premiere question mais je pense ma rédaction n'est pas super et la question b je voulais faire deux intégrations par partie mais je ne trouve pas le résultat attendu...

Merci d'avance

Ps: je suis bien conscient que ceci n'est pas très lisible, si vous connaissez un moyen de rendre ça plus lisible je suis preneur

[Sa Majesté]

Salut
s'intègre directement en mettant en facteur

[Sa Majesté]

Ps: je suis bien conscient que ceci n'est pas très lisible, si vous connaissez un moyen de rendre ça plus lisible je suis preneur

Il faut utiliser LATEX

[Jpweaksend]

Ah oui merci, en effet je trouve bien
Je vais réfléchir à la suite.
Merci aussi pour Latex!
Juste une question sur le a)
Pour justifier que la suite était convergente j'ai dit que la fonction tan était croissante sur et majorée par 1. Est ce que c'est bon ou il faudrait étoffer?
Je précise juste que c'est du travail personnel au cas où, j'ai envie d'améliorer ma rédaction, cela me fait beaucoup tort.
Merci d'avance

[Tiruxa]

Pour la 3

Ecrire les égalités précéd trouvéemment au 2 (en faisant varier l'indice à partir de 1 jusqu'à n)
et en multipliant par -1 une fois sur deux.

On a donc au début
-I1 - I0 = -1/3
I2 + I1 = 1/5
-I3 - I2 = 1/7
....................

la multiplication par -1 en alternance revient à multiplier par une puissance de -1, ainsi
(-1) I1 + (-1) I0 = (-1)*1/3
(-1)² I1 + (-1)² I0 = (-1)²*1/3
(-1)^3 I1 + (-1)^3 I0 = (-1)^3*1/3
........................................

En ajoutant membre à membre beaucoup de termes s'éliminent.....

Ceci dit j'ai u gros doute sur la borne supérieure du sigma. Je pense qu'il s'agit de n et non pas 2n-1

[Jpweaksend]

Oui en effet c'est bien n sur la borne de la somme je vais modifier ça
Merci pour les indications
En itérant à chaque fois l'expression du B et remplaçant par ce qui est trouvé avant je trouve bien Sn-1
Par contre juste pour être sûr I0 c'était bien 1- ?
Et donc j'en conclue que la limite de Sn en l'infini c'est 1 comme trouvé en B non?

[Tiruxa]

Par contre juste pour être sûr I0 c'était bien 1- ?Oui c'est juste
Et donc j'en conclue que la limite de Sn en l'infini c'est 1 comme trouvé en B non? Non pas du tout

Si on note x la limite de (In) on a en passant à la limite dans l'égalité du B

x + x = 0 donc 2x=0 donc x=0

A partir de là on trouve celle de Sn.

[Jpweaksend]

Oui pardon c'est bien le dénominateur qui tend vers 0 c'ets donc pas 1 mais 0
Mais ensuite si je veux passer à la limite dans l'expression du 3, j'ai (-1)^n et ça je ne peux pas en connaitre le signe en l'infini?

[Tiruxa]

Oui pardon c'est bien le dénominateur qui tend vers 0 c'ets donc pas 1 mais 0
Mais ensuite si je veux passer à la limite dans l'expression du 3, j'ai (-1)^n et ça je ne peux pas en connaitre le signe en l'infini?

Attention le dénominateur a pour limite donc le quotient a pour limite 0 .

D'autre part comme In a pour limite 0, pour toute constante réelle k la limite de k In est 0 donc ;

(-1)^n In a pour limite 0 le problème du signe n'a pas lieu d'être dans ce cas !

[Losange]

(-1)^n et ça je ne peux pas en connaitre le signe en l'infini?

Certes, mais la seule chose qui importe c'est que est bornée.

[Jpweaksend]

Oui pardon j'ai dit n'importe quoi, le dénominateur tendant vers l'infini c'est le quotient qui tend vers 0.
Donc si je ne me trompe pas la limite de Sn est ?

[Tiruxa]

Oui pardon j'ai dit n'importe quoi, le dénominateur tendant vers l'infini c'est le quotient qui tend vers 0.
Donc si je ne me trompe pas la limite de Sn est ?

Oui c'est bien ça;

Pour la limite de (-1)^n In on peut l'encadrer entre -In et In qui ont tous deux pour limite 0, le th des "gendarmes" permettant de conclure.

[Jpweaksend]

D'accord!
Merci beaucoup pour votre aide :)

[clemecs1]

Salut
s'intègre directement en mettant en facteur

Bonjour, j'ai quasiment le même exercice et je n'arrive pas à trouver 1/2n+1, j'ai mis en facteur mais je suis bloquée à cet endroit.

Merci d'avance.

[Joker62]

Hello,

Une primitive de est donnée par

[clemecs1]

Ah oui d'accord! Merci beaucoup!!

[clemecs1]

Hello,

Une primitive de est donnée par

Par contre j'ai une autre question maintenant, je dois trouver le sens de variation donc j'ai fait
Mais en factorisant je trouve donc je ne vois encore une fois pas la primitive adéquate..

[Joker62]

T'as pas l'impression d'intégrer une fonction négative sur [0;;)/4] ?

[deltab]

Bonjour

Juste une question sur le a)
Pour justifier que la suite était convergente j'ai dit que la fonction tan était croissante sur et majorée par 1. Est ce que c'est bon ou il faudrait étoffer?

Est ce que c'est bon: malheureusement NON!. Tu es en train de dire qu'une suite majorée est convergente
ou il faudrait étoffer: c'est encore NON si ce j'ai compris en bon, ta démonstration ne souffre pas de lacunes, elle est complétement fausse.
Essaies plutôt en partant de pour de montrer que est décroissante minorée donc .....

[clemecs1]

T'as pas l'impression d'intégrer une fonction négative sur [0;;)/4] ?

Si je vois que c'est pas vraiment possible ce que je fais mais je ne sais pas comment démontrer que c'est décroissant..