Equation

[JaafarAitraf]

Soient a, b, c les racines de x^3 + 2x - 1 = 0,

Calculer X=a^3+b^3+c^3

[MacManus]

Bonjour,

je dirais que

En effet, si a, b et c sont racines de , alors:
et
Mais aussi,
Donc par identification des coefficients des monômes des deux polynômes, on peut affirmer que a+b+c=0, puisqu'il n'y a pas de monômes en dans . (voir fonctions symétriques élémentaires)
D'où le résultat.

[JaafarAitraf]

Bonjour,

je dirais que

En considérant que a+b+c=0 c ca ?

[Sake]

Ouaip

a+b+c=0
ab+bc+ac=-2
abc=-1
(fonctions symétriques)

(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+ab²+ac²+b²a+b²c+c²b+c²a mais c'est aussi égal à a^3+b^3+c^3+3(ab²+ac²+b²a+b²c+c²b+c²a)+6abc

En notant X'=ab²+ac²+b²a+b²c+c²b+c²a, on a a^3+b^3+c^3=-3X'+6=-X' d'où a^3+b^3+c^3 = 3

[JaafarAitraf]

Ouaip

a+b+c=0
ab+bc+ac=-2
abc=-1
(fonctions symétriques)

(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+ab²+ac²+b²a+b²c+c²b+c²a mais c'est aussi égal à a^3+b^3+c^3+3(ab²+ac²+b²a+b²c+c²b+c²a)+6abc

En notant X'=ab²+ac²+b²a+b²c+c²b+c²a, on a a^3+b^3+c^3=-3X'+6=-X' d'où a^3+b^3+c^3 = 3

Oui ! J'ai une autre méthode plutôt easy mais faut savoir le truc a+b+c=0

Voila, on sait que a et b et c sont des racines àl'équation donc :
a^3+2a-1=0
b^3+2b-1=0
c^3+2c-1=0

On fait la somme des 3 égalités ça fait : a^3+b^3+c^3+2(a+b+c)-3=0
Donc : X dont on parle qui égale à a^3+b^3+c^3 fait : X=3-2(a+b+c)
Puisque (a+b+c)=0 , donc X=3
C'est juste ?

[MacManus]

Tu as la réponse dans mon post pour justifier que a+b+c = 0.

[Sake]

Oui ! J'ai une autre méthode plutôt easy mais faut savoir le truc a+b+c=0

Voila, on sait que a et b et c sont des racines àl'équation donc :
a^3+2a-1=0
b^3+2b-1=0
c^3+2c-1=0

On fait la somme des 3 égalités ça fait : a^3+b^3+c^3+2(a+b+c)-3=0
Donc : X dont on parle qui égale à a^3+b^3+c^3 fait : X=3-2(a+b+c)
Puisque (a+b+c)=0 , donc X=3
C'est juste ?

Oui pourquoi pas ! a+b+c=0 provient de la relation racines-coefficients (fonctions symétriques), donc à moins que tu l'aies montré, l'utilisation de cette identité relève un peu d'un parachutage, à moins que cela fasse partie des hypothèses. Auquel cas j'appelle ceci un truandage !

[JaafarAitraf]

Tu as la réponse dans mon post pour justifier que a+b+c = 0.

Ah ouiiii j'ai paps vu c'est bien démontré merci.

[JaafarAitraf]

Oui pourquoi pas ! a+b+c=0 provient de la relation racines-coefficients (fonctions symétriques), donc à moins que tu l'aies montré, l'utilisation de cette identité relève un peu d'un parachutage, à moins que cela fasse partie des hypothèses. Auquel cas j'appelle ceci un truandage !

Oui oui (Y) grand merci.